Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.
Содержание
История
Основы сферической тригонометрии были заложены греческим математиком и астрономом Гиппархом во II веке до н. э. Важный вклад в её развитие внесли такие античные учёные, как Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Сферическая тригонометрия древних греков опиралась на применение теоремы Менелая к полному четырёхстороннику на сфере. Древнегреческие математики излагали условие теоремы Менелая не на языке отношений синусов, а на языке отношений хорд. Для выполнения требуемых расчётов применялись таблицы хорд, аналогичные последующим таблицам синусов.
Как самостоятельная дисциплина сферическая тригонометрия сформировалась в работах средневековых математиков стран ислама. Наибольший вклад в её развитие в эту эпоху внесли такие учёные, как Сабит ибн Корра, Ибн Ирак, Кушьяр ибн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Бируни, Джабир ибн Афлах, ал-Джайяни, Насир ад-Дин ат-Туси. В их работах были введены основные тригонометрические функции, сформулирована и доказана сферическая теорема синусов и ряд других теорем, применявшихся в астрономических и геодезических расчётах, ведено понятие полярного треугольника, позволявшее вычислять стороны сферического треугольника по трём его данным углам.
История сферической тригонометрии в Европе связана с трудами таких учёных, как Региомонтан, Николай Коперник, Франческо Мавролико.
Основные соотношения
Обозначим стороны сферического треугольника буквами a, b, c, противолежащие этим сторонам углы — буквами A, B, C.
Теоремы для прямоугольного сферического треугольника
Пусть угол C — прямой. Тогда имеют место следующие соотношения:
- tanb=tanccosA,{displaystyle ~tan b=tan ccos A,}
- tana=sincsinA,{displaystyle ~tan a=sin csin A,}
- sina=sinctanA.{displaystyle ~sin a=sin ctan A.}
Теоремы для произвольного сферического треугольника
Сферический треугольник, решённый с помощью теоремы косинусов.
- cosa=cosbcosc+sinbsinccosA,{displaystyle ~cos a=cos bcos c+sin bsin ccos A,}
- cosA=−cosBcosC+sinBsinCcosa.{displaystyle ~cos A=-cos Bcos C+sin Bsin Ccos a.}
- sinasinA=sinbsinB=sincsinC.{displaystyle {frac {sin a}{sin A}}={frac {sin b}{sin B}}={frac {sin c}{sin C}}.}
Первая и вторая сферические теоремы косинусов двойственны по отношению друг к другу. Сферическая теорема синусов двойственна по отношению к самой себе.
Литература
- Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.
Ссылки
Сводка формул сферической тригонометрии.
