Трои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3.
| Системы счисления в культуре |
| Индо-арабская |
Арабская
Тамильская
Бирманская |
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская |
| Восточноазиатские |
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская |
Вьетнамская
Счётные палочки |
| Алфавитные |
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая |
Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья |
| Другие |
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская |
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ |
| Позиционные |
| 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60 |
| Нега-позиционная |
| Симметричная |
| Смешанные системы |
| Фибоначчиева |
| Непозиционные |
| Единичная (унарная) |
Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
Содержание
Троичные цифры
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичной симметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {1,0,1}, {1,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры {2,0,1}, {7,0,1}[источник не указан 3810 дней]. В распечатках ЭВМ «Сетунь» использовалось кодирование {1,0,1}[1]. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, но при этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, C>B, B>A.
Физические реализации
В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.
Представление чисел в троичных системах счисления
Несимметричная троичная система счисления
Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:
| Десятичное число |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Троичное число |
0 |
1 |
2 |
10 |
11 |
12 |
20 |
21 |
22 |
100 |
101 |
Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д.
Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных (комбинированных) показательных позиционных систем счисления, в которой ak — из троичного множества a={0,1,2}, b=3, веса разрядов равны 3k.
Показательные системы счисления
В показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы:
- внутриразрядная система кодирования с основанием с, числа которой используются для записи цифр и
- приписная межразрядная система счисления с основанием b.
Целое число в показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — ak{displaystyle a_{k}}
на k-тые степени числа b:
- xa,b=∑k=0n−1akbk{displaystyle x_{a,b}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}
, где:
- k — число от 0 до n-1, номер числового разрядa,
- n — число разрядов,
- с — основание системы кодирования, с равно размерности множества a={0,1,…,c-1} из которого берутся цифры ak,
- ak — целые числа из множества a, называемые цифрами,
- b — число, основание межразрядной показательной весовой функции,
- bk — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.
Каждое произведение akbk{displaystyle a_{k}b^{k}}
в такой записи называется (a, b)-ичным разрядом.
При c=b образуются (b, b)-ичные системы счисления с произведением — akbk и суммой — ∑k=0n−1akbk{displaystyle sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}
, которые при b=3 превращаются в обычную (3,3)-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.
Весовой коэффициент разряда — bk — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений ak более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, ak могут быть тоже необязательно из троичного множества a={0,1,2}, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. ak-тые ближе к аппаратной части и по ak-тым из множества a={0,1,2} или из множества a={-1,0,+1}, определяется система кодирования: несимметричная троичная или симметричная троичная.
Показательные троичные системы счисления
Целое число x{displaystyle x}
в показательной позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:
- xa,b=(an−1an−2…a0)a,b.{displaystyle x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}dots a_{0})_{a,b}.}
В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты bk{displaystyle b^{k}}
, в записи они опускаются, но подразумевается, что k-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный bk{displaystyle b^{k}} .
Из комбинаторики известно, что количество записываемых кодов равно числу размещений с повторениями:
A¯(a,n)=A¯an=an=3n{displaystyle {bar {A}}(a,n)={bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=3^{n}}
, где:
a=3 — 3-х элементное множество a={0,1,2} из которого берутся цифры ak, n — число элементов (цифр) в числе x3,b.
Количество записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x3,b величин.
Дробное число записывается и представляется в виде:
- xa,b=(an−1an−2…a1a0,a−1a−2…a−(m−1)a−m)a,b=∑k=−mn−1akbk{displaystyle x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b}=sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}}
, где m — число разрядов дробной части числа справа от запятой,
при m=0 дробная часть отсутствует, число — целое,
при ak из троичного множества a={0,1,2} и b=1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1k=1,
при ak из двоичного множества a={0,1} и b=3 в сумме будут только целые степени — 3k,
при ak из троичного множества a={0,1,2} и b=3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, ak удовлетворяют неравенству 0⩽ak⩽(b−1)<b{displaystyle 0leqslant a_{k}leqslant (b-1)<b}
, то есть 0⩽ak⩽2<3{displaystyle 0leqslant a_{k}leqslant 2<3}
,
при ak из десятичного множества a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.
Троичные системы счисления с дополнительным сомножителем
В показательных позиционных троичных системах счисления в вес разряда можно ввести дополнительный сомножитель. Например, сомножитель (b/с):
- xa,b,c=(an−1an−2…a1a0,a−1a−2…a−(m−1)a−m)a,b,c=∑k=−mn−1akbk(b/c){displaystyle x_{a,b,c}=(a_{n-1}a_{n-2}dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b,c}=sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}(b/c)}
В общем случае c≠3.
При ak из a={0,1,2}, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5.
При других значениях a, b и c образуются другие показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно.
Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.
Кодирование троичных цифр
Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.
Трёхуровневые системы кодирования троичных цифр
1. Трёхуровневое кодирование троичных цифр (3-Level Coded Ternary, 3LCT, «однопроводное»):
Число трёхуровневых систем кодирования троичных цифр равно числу перестановок:
- P3=A33=3!(3−3)!=3!0!=3!=6,{displaystyle P_{3}=A_{3}^{3}={frac {3!}{(3-3)!}}={frac {3!}{0!}}=3!=6,}
из них одна
1.1. Симметричная {-1,0,+1}
+U — (+1) ;
0 — (0) ;
-U — (-1) ,
1.2. Сдвинутая на +1 {0,1,2}
1.3. Сдвинутая на +2 {1,2,3}
Двухуровневые системы кодирования троичных цифр
2. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием 3-х кодов из 4-х возможных[2]:
Число возможных 2B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения:
- (nk)=Cnk=n!k!(n−k)!=(43)=4!3!(4−3)!=4,{displaystyle {n choose k}=C_{n}^{k}={frac {n!}{k!left(n-kright)!}}={4 choose 3}={frac {4!}{3!left(4-3right)!}}=4,}
умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр:
- P3=A33=3!(3−3)!=3!0!=3!=6,{displaystyle P_{3}=A_{3}^{3}={frac {3!}{(3-3)!}}={frac {3!}{0!}}=3!=6,} то есть 4*6 = 24.
Вот некоторые из них:
2.1.[3]
(1,0) — 2 ;
(0,1) — 1 ;
(0,0) — 0.
2.2.
(1,1) — 2;
(0,1) — 1;
(0,0) — 0.
3. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием всех 4-х кодов из 4-х возможных (два из 4-х кодов кодируют одну и туже троичную цифру из 3-х).
3.1.
Вот одна из них[4]:
(0,0) — «0»
(1,1) — «0»
(0,1) — «-1»
(1,0) — «+1»
4. Трёхбитные двоичнокодированые троичные цифры (3-Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT representation, «трёхпроводное») с использованием 3-х кодов из 8-ми возможных:
Число возможных 3B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения:
- (nk)=Cnk=n!k!(n−k)!=(83)=8!3!(8−3)!=54,{displaystyle {n choose k}=C_{n}^{k}={frac {n!}{k!left(n-kright)!}}={8 choose 3}={frac {8!}{3!left(8-3right)!}}=54,}
умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр:
- P3=A33=3!(3−3)!=3!0!=3!=6,{displaystyle P_{3}=A_{3}^{3}={frac {3!}{(3-3)!}}={frac {3!}{0!}}=3!=6,} то есть 54*6 = 324.
Вот некоторые из них:
3.1.
(1,0,0) — 2;
(0,1,0) — 1;
(0,0,1) — 0.
3.2.
(0,1,1) — 2;
(1,0,1) — 1;
(0,1,0) — 0.
3.3.
(1,1,1) — 2;
(0,1,1) — 1;
(0,0,1) — 0.
3.4.
(0,0,0) — 2;
(1,0,0) — 1;
(1,1,0) — 0.
3.5.
(1,0,0) — 2;
(1,1,0) — 1;
(1,1,1) — 0.
3.6.
(0,1,1) — 2;
(0,0,1) — 1;
(0,0,0) — 0.
3.7.
(1,0,1) — 2;
(0,1,0) — 1;
(0,0,0) — 0.
и др.
Сравнение с двоичной системой счисления
При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость 29=512{displaystyle 2^{9}=512}
чисел, а троичный код имеет ёмкость 39=19683{displaystyle 3^{9}=19683}
числа, то есть в 39/29=38,4{displaystyle 3^{9}/2^{9}=38,4}
раза больше.
При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость 227=134217728{displaystyle 2^{27}=134217728}
чисел, а троичный код имеет ёмкость 327=7625597484987{displaystyle 3^{27}=7625597484987}
чисел, то есть в 327/227=56815,13{displaystyle 3^{27}/2^{27}=56815,13}
раз больше.
Свойства
Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления.[5][6][7][8][9] А. Кушнеров[6] приписывает эту теорему Джону фон Нейману.
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную
Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.[10]
Пример: десятичное целое число 4810,10 переведём в несимметричное троичное целое число:
число = 4810,10 делим на 3, частное = 16, остаток a0 = 0
частное = 1610,10 делим на 3, частное = 5, остаток a1 = 1
частное = 510,10 делим на 3, частное = 1, остаток a2 = 2
частное = 110,10 делим на 3, частное = 0, остаток a3 = 1
Частное не больше нуля, деление закончено.
Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 4810,10 = (a3a2a1a0)3,3 = 12103,3.
Таблицы сложения в троичных системах счисления
В троичной несимметричной системе счисления
С результатом в десятичной системе счисления:
| 2 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 0 |
0 |
1 |
2 |
| + |
0 |
1 |
2 |
С результатом в троичной несимметричной системе счисления:
| 2 |
02 |
10 |
11 |
| 1 |
01 |
02 |
10 |
| 0 |
00 |
01 |
02 |
| + |
0 |
1 |
2 |
В троичной симметричной системе счисления
С результатом в десятичной системе счисления:
| +1 |
0 |
+1 |
+2 |
| 0 |
−1 |
0 |
+1 |
| −1 |
−2 |
−1 |
0 |
| + |
−1 |
0 |
+1 |
С результатом в троичной симметричной системе счисления:
| +1 |
00 |
01 |
1i |
| 0 |
0i |
00 |
01 |
| −1 |
i1 |
0i |
00 |
| + |
−1 |
0 |
+1 |
Симметричная троичная система счисления
Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях».[11] Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в XVII веке в 1612 г. (Русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге только в 1877 г.) В 1797г. в России был издан закон «Об учреждении повсеместно в Российской империи верных весов питейных и хлебных мер». Для взвешивания товаров допускались только гири следующих весов: в 1 и 2 пуда, в 1, 3, 9, 27 фунтов и в 1, 3, 9, 27 и 81 золотник. Как приложение к закону была издана таблица для взвешивания товаров от 1 фунта до 40 фунтов при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 фунтов и для взвешивания товаров от 1 золотника до 96 золотников при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 и 91 золотник[12]. Этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, а позже интересовался Д. И. Менделеев.[13][14][15][16][17]
Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров,[18] в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.
Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой 1¯{displaystyle {bar {1}}}
(минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой 1¯{displaystyle {bar {1}}} (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц.
Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления:
|
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
| 1 |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
В соответствии 2. сохраняются числовые значения 0 и 1.
| Десятичная система |
−9 |
−8 |
−7 |
−6 |
−5 |
−4 |
−3 |
−2 |
−1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| Троичная несимметричная |
−100 |
−22 |
−21 |
−20 |
−12 |
−11 |
−10 |
−2 |
−1 |
0 |
1 |
2 |
10 |
11 |
12 |
20 |
21 |
22 |
100 |
| Троичная симметричная |
100 |
101 |
111 |
110 |
111 |
11 |
10 |
11 |
1 |
0 |
1 |
11 |
10 |
11 |
111 |
110 |
111 |
101 |
100 |
В троичной симметричной системе счисления знак 1 можно заменить знаком (не числом) i или 2 и, во втором случае, использовать для троичной симметричной системы счисления {-1,0,+1} знаки троичной несимметричной системы {2,0,1}.
Свойства
Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: −1, 0, 1, с которым связано шесть ценных свойств:
- Естественность представления отрицательных чисел;
- Отсутствие проблемы округления: обнуление ненужных младших разрядов округляет — приближает число к ближайшему «грубому».
- Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши, примерно в четыре раза короче.[13](стр.34).
- Для изменения знака представляемого числа нужно изменить ненулевые цифры на симметричные.
- При суммировании большого количества чисел значение для переноса в следующий разряд растёт с увеличением количества слагаемых не линейно, а пропорционально квадратному корню числа слагаемых.
- По затратам количества знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.
Представление отрицательных чисел
Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной симметричной системе счисления выполняются естественно с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:
- 101¯=9−1=8{displaystyle 10{bar {1}}=9-1=8}
- 1¯01=−9+1=−8{displaystyle {bar {1}}01=-9+1=-8}
Округление
Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.
Перевод чисел из десятичной системы в троичную
Перевод чисел из десятичной системы в троичную и соответствующий ему вопрос о гирях подробно изложены в книгах[19][20]. Там же рассказано о применении троичной системы гирь в русской практике.
Перевод в другие системы счисления
Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой
- ⋯+K3⋅33+K2⋅32+K1⋅31+K0⋅30+K−1⋅3−1+K−2⋅3−2+K−3⋅3−3+⋯{displaystyle cdots +K_{3}cdot 3^{3}+K_{2}cdot 3^{2}+K_{1}cdot 3^{1}+K_{0}cdot 3^{0}+K_{-1}cdot 3^{-1}+K_{-2}cdot 3^{-2}+K_{-3}cdot 3^{-3}+cdots }
, где
- ⋯+K3⋅33+K2⋅32+K1⋅31+K0⋅30{displaystyle cdots +K_{3}cdot 3^{3}+K_{2}cdot 3^{2}+K_{1}cdot 3^{1}+K_{0}cdot 3^{0}}
— целая часть числа,
- ⋯+K−1⋅3−1+K−2⋅3−2+K−3⋅3−3+⋯{displaystyle cdots +K_{-1}cdot 3^{-1}+K_{-2}cdot 3^{-2}+K_{-3}cdot 3^{-3}+cdots }
— дробная часть числа,
причём коэффициенты K могут принимать значения { 1, 0, −1 }.
Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.
Практические применения
- Работая в палате мер и весов, Д. И. Менделеев, с учётом симметричной троичной системы счисления, разработал цифровой ряд значений весов разновеса для взвешивания на лабораторных весах, который используется по сей день.
- Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь.
Девятеричная форма представления команд
Представление команд троичным кодом при программировании и при вводе в машину неудобно и неэкономно, поэтому вне машины применяется девятеричная форма представления команд. Девятеричные цифры 4¯,3¯,2¯,1¯,0,1,2,3,4{displaystyle {bar {4}},{bar {3}},{bar {2}},{bar {1}},0,1,2,3,4}
сопоставляются парам троичных цифр:
- 1¯1¯=4¯;1¯0=3¯;1¯1=2¯;01¯=1¯;00=0;{displaystyle {bar {1}}{bar {1}}={bar {4}};quad {bar {1}}0={bar {3}};quad {bar {1}}1={bar {2}};quad 0{bar {1}}={bar {1}};quad 00=0;}
- 11=4;10=3;11¯=2;01=1.{displaystyle 11=4;quad 10=3;quad 1{bar {1}}=2;quad 01=1.}
При выводе из машины отрицательные девятеричные цифры обозначают буквами:
| Девятеричная цифра |
1¯{displaystyle {bar {1}}} |
2¯{displaystyle {bar {2}}} |
3¯{displaystyle {bar {3}}} |
4¯{displaystyle {bar {4}}} |
| Буква латинского алфавита |
Z |
Y |
X |
W |
| Буква русского алфавита |
Ц |
У |
Х |
Ж |
См. также
Примечания
- ↑ Н. А. Криницкий, Г. А. Миронов, Г. Д. Фролов, под ред. М. Р. Шура-Бура. Глава 10. Программно-управляемая машина «Сетунь» // Программирование : [рус.]. — М., 1963.
- ↑ http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность
- ↑ BCT: Binary Coded Ternary
- ↑ Тринари. Форум. Аппаратная часть. Сумматор. Блок 003
- ↑ С. В. Фомин. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). (альтернативная ссылка)
- ↑ 1 2 А. Кушнеров Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность.
- ↑ Экономичность систем счисления
- ↑ Удивительное свойство троичной системы счисления
- ↑ О. А. Акулов, Н. В. Медведев. Информатика и вычислительная техника. 4-е изд. — М.: Омега-Л, 2007. (Раздел I, Гл.3.3)
- ↑ http://algolist.manual.ru/maths/teornum/count_sys.php Перевод из системы с большим основанием — в систему с меньшим
- ↑ «Троичный принцип» Николая Брусенцова.
- ↑ Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин. Выпуск 1. (Москва: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1956. — Серия «Библиотека школьника»). Глава VIII. § Использование наиболее удобной системы гирь в России. Стр.118
- ↑ 1 2 С. Б. Гашков. § 11. Д. И. Менделеев и троичная система // Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — (Библиотека «Математическое просвещение»). В Google Chrome после нажатия на PDF(333Kb) нужно стронуть одну из боковых сторон рамки браузера.
- ↑ И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. Издание второе, исправленное. Издательство «Просвещение», Москва, 1965. Глава I. Натуральное число. 7. Задача Баше — Менделеева, стр.36.
- ↑ Е. С. Давыдов, Наименьшие группы чисел для образования натуральных рядов, Спб., 1903, 36 стр.
- ↑ В. Ф. Гартц, Лучшая система для весовых гирь, Спб., 1910, 36 стр.
- ↑ Ф. А. Слудский, О свойствах степеней двух и трёх. «Математический сборник», ч. III, стр. 214.
- ↑ Юрий Ревич «Наследники Бэббиджа» // «Домашний компьютер», № 12, 1 декабря 2002 года.
- ↑ И. Я. Депман. «Меры и метрическая система», Учпедгиз, 1955.
- ↑ И. Я. Депман. «Возникновение системы мер и способов измерения величин», вып. 1, Учпедгиз, 1956.
Литература
