Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Геометрический смысл интеграла Римана
Содержание
- 1 Неформальное геометрическое описание
- 2 Определения
- 3 Свойства
- 4 Условия существования интеграла Римана
- 5 История
- 6 См. также
- 7 Примечания
- 8 Литература
- 9 Ссылки
Неформальное геометрическое описание
Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.
Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).
Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.
Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами Δxi{displaystyle Delta x_{i}}
будет интегральной суммой:
- S=∑if(xi)Δxi.{displaystyle S=sum _{i}f(x_{i})Delta x_{i}.}
Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения — при хорошем «размельчении» разбиения (когда наибольшее из Δxi{displaystyle Delta x_{i}}
стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
Определения
Через интегральные суммы
Пусть на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]}
определена вещественнозначная функция f{displaystyle f} .
Рассмотрим разбиение отрезка a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{n-1}<x_{n}=b}
— конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b]{displaystyle [a,b]} на n отрезков [xi−1,xi],i=1…n{displaystyle [x_{i-1},x_{i}],;i=1dots n} . Длина наибольшего из отрезков δR=max(Δxi){displaystyle delta R=max(Delta x_{i})} называется шагом разбиения, где Δxi=xi−xi−1{displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} — длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке ξi∈[xi−1,xi]{displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]}
. Интегральной суммой называется выражение σx=∑i=1nf(ξi)Δxi{displaystyle sigma _{x}=sum limits _{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}} .
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора ξi∈[xi−1,xi]{displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]}
, то это число называется интегралом функции f{displaystyle f} на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} , то есть∫abf(x)dx=limδR→0σx{displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx=lim limits _{delta Rto 0}sigma _{x}} .
В этом случае, сама функция f{displaystyle f}
называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]{displaystyle [a,b]} ; в противном случае f{displaystyle f} является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} .
Через суммы Дарбу
Основная статья: Критерий Дарбу
Свойства
- Невырожденность: ∫ab1dx=b−a{displaystyle int limits _{a}^{b}1,dx=b-a} .
- Положительность: Если интегрируемая функция f{displaystyle f} неотрицательна, то её интеграл на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} также неотрицателен.
- Линейность: Если функции f{displaystyle f} и g{displaystyle g} интегрируемы, и α,β∈R{displaystyle alpha ,beta in mathbb {R} } , то функция αf+βg{displaystyle alpha f+beta g} тоже интегрируема, и ∫ab(αf(x)+βg(x))dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{b}(alpha f(x)+beta g(x)),dx=alpha int limits _{a}^{b}f(x),dx+beta int limits _{a}^{b}g(x),dx} .
- Непрерывность: Если интегрируемые функции fi{displaystyle f_{i}} равномерно сходятся на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} к функции f{displaystyle f} , то f{displaystyle f} интегрируема, и limi→∞∫abfi(x)dx=∫abf(x)dx{displaystyle lim _{ito infty }int limits _{a}^{b}f_{i}(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx} . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
- Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть a<b<c{displaystyle a<b<c} . Функция f{displaystyle f} интегрируема на отрезке [a,c]{displaystyle [a,c]} , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b]{displaystyle [a,b]} и [b,c]{displaystyle [b,c]} , при этом ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{c}f(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx+int limits _{b}^{c}f(x),dx} .
- Если функция F{displaystyle F} является первообразной непрерывной функции f{displaystyle f} , то интеграл функции f{displaystyle f} на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)−F(a){displaystyle F(b)-F(a)} . (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция f{displaystyle f} всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: F(x)=∫axf(t)dt+C{displaystyle F(x)=int limits _{a}^{x}f(t)dt+C} , где C{displaystyle C} — произвольная константа.
Условия существования интеграла Римана
Непрерывная на отрезке функция всегда интегрируема по Риману (следствие свойств 1—5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.
Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману
Функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]}
, тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
Другой критерий
Для того, чтобы функция f(x){displaystyle f(x)}
была интегрируемой на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} , необходимо и достаточно, чтобы сумма ∑i=1nωiΔi{displaystyle sum _{i=1}^{n}omega _{i}Delta _{i}} стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения d{displaystyle d} .
Здесь ωi{displaystyle omega _{i}}
— колебание функции f(x){displaystyle f(x)} в сегменте Δi=[xi−1,xi]{displaystyle Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]} ,
-
- колебание ω{displaystyle omega } функции f{displaystyle f} на множестве E{displaystyle E} — разность supEf(x)−infEf(x){displaystyle sup _{E}f(x)-inf _{E}f(x)} ,
- диаметр разбиения d=supi(xi−xi−1){displaystyle d=sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})} [1].
Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману
Ниже перечислены некоторые классы функций, для которых значение интеграла Римана всегда существует и конечно[2].
- Функции, непрерывные на отрезке [a,b].{displaystyle [a,b].}
- Функции, ограниченные на [a,b]{displaystyle [a,b]} и имеющая на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва.
- Монотонные ограниченные функции.
История
Приведенное выше определение интеграла дано Коши[3], оно применялось только для непрерывных функций.
Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году[4]:101-103, на русском языке впервые в 1914 году[5][6]) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).
См. также
- Интеграл Лебега и равносильные ему интеграл Даниэля, интеграл Юнга
- Интеграл Стилтьеса
- Кратный интеграл Римана
- Несобственный интеграл
Примечания
- ↑ Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
- ↑ Фихтенгольц, 1966, с. 101—103.
- ↑ Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
- ↑ Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
- ↑ Риманн Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липщиц; Пер. Г.А. Грузинцева и С.Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).
- ↑ Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 186. — ISBN 5-06-003955-2.
Литература
- В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — М.: Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.
Ссылки
- Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
- Строгое определение интеграла Римана.
Для улучшения этой статьи желательно:
После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки. |