wiki

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространстоллллллллллолво Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

n{displaystyle n}-мерное евклидово пространство обозначается En,{displaystyle mathbb {E} ^{n},} также часто используется обозначение Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Содержание

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция (⋅,⋅),{displaystyle (cdot ,cdot ),}

  обладающая следующими тремя свойствами:

  • Билинейность: для любых векторов u,v,w{displaystyle u,v,w}  и для любых вещественных чисел a,b(au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w){displaystyle a,bquad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)}  и (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);{displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);} 
  • Симметричность: для любых векторов u,v(u,v)=(v,u);{displaystyle u,vquad (u,v)=(v,u);} 
  • Положительная определённость: для любого u(u,u)⩾0,{displaystyle uquad (u,u)geqslant 0,}  причём (u,u)=0⇒u=0.{displaystyle (u,u)=0Rightarrow u=0.} 

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n},}

  состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел (x1,x2,…,xn),{displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),}  скалярное произведение в котором определяется формулой (x,y)=∑i=1nxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn.{displaystyle (x,y)=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+cdots +x_{n}y_{n}.} 

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u{displaystyle u}

  определяется как (u,u){displaystyle {sqrt {(u,u)}}}  и обозначается |u|.{displaystyle |u|.} [2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что |au|=|a||u|,{displaystyle |au|=|a||u|,}  то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u{displaystyle u}

  и v{displaystyle v}  определяется по формуле φ=arccos⁡((x,y)|x||y|).{displaystyle varphi =arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right).}  Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π2.{displaystyle {frac {pi }{2}}.} 

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos⁡((x,y)|x||y|){displaystyle arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right)}

  был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство |(x,y)|x||y||⩽1.{displaystyle left|{frac {(x,y)}{|x||y|}}right|leqslant 1.}  Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: |u+v|⩽|u|+|v|.{displaystyle |u+v|leqslant |u|+|v|.}  Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d(x,y)=|x−y|{displaystyle d(x,y)=|x-y|}  задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x{displaystyle x}  и y{displaystyle y}  координатного пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}  задаётся формулой d(x,y)=‖x−y‖=∑i=1n(xi−yi)2.{displaystyle d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.} 

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами (a1,a2,…,an){displaystyle (a_{1},a_{2},ldots ,a_{n})}

  и (b1,b2,…,bn){displaystyle (b_{1},b_{2},ldots ,b_{n})}  в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле (a,b)=a1b1+a2b2+⋯+anbn.{displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}.}  В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, n{displaystyle n} -мерное евклидово пространство изоморфно Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}  со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора x{displaystyle x}

  на подпространство U{displaystyle U}  — это вектор h,{displaystyle h,}  ортогональный U,{displaystyle U,}  такой что x{displaystyle x}  представим в виде u+h,{displaystyle u+h,}  где u∈U.{displaystyle uin U.}  Расстояние между концами векторов u{displaystyle u}  и x{displaystyle x}  является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора x{displaystyle x}  до подпространства U.{displaystyle U.}  Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x{displaystyle x}

  евклидова пространства задаёт линейный функционал x∗{displaystyle x^{*}}  на этом пространстве, определяемый как x∗(y)=(x,y).{displaystyle x^{*}(y)=(x,y).}  Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством[4] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор v,{displaystyle v,}

  переводящий точку p{displaystyle p}  в точку p+v.{displaystyle p+v.}  Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n×n, удовлетворяющих условию QTQ=E,,{displaystyle Q^{mathsf {T}}Q=E,,}  где QT{displaystyle Q^{mathsf {T}}}  — транспонированная матрица, а E{displaystyle E}  — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  • E1{displaystyle mathbb {E} ^{1}}  размерности 1{displaystyle 1}  (вещественная прямая)
  • E2{displaystyle mathbb {E} ^{2}}  размерности 2{displaystyle 2}  (евклидова плоскость)
  • E3{displaystyle mathbb {E} ^{3}}  размерности 3{displaystyle 3}  (евклидово трехмерное пространство)

Более абстрактный пример:

  • пространство вещественных многочленов p(x){displaystyle p(x)}  степени, не превосходящей n{displaystyle n} , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например e−x2{displaystyle e^{-x^{2}}} ).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве

Связанные определения

  • Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
  • Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
  • Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Примечания

  1. ↑ Гельфанд, 1998, с. 35.
  2. ↑ Гельфанд, 1998, с. 39.
  3. ↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 118.
  4. ↑ Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса.

Литература

Читайте также