wiki

Тензорное произведение

Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т.д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств A{displaystyle A} и B{displaystyle B} есть линейное пространство, обозначаемое A⊗B{displaystyle Aotimes B}.Для элементов a∈A{displaystyle ain A} и b∈B{displaystyle bin B} их тензорное произведение a⊗b{displaystyle aotimes b} лежит в пространстве A⊗B{displaystyle Aotimes B}.

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Содержание

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств

Конечномерные пространства

Пусть A{displaystyle A}

  и B{displaystyle B}  — конечномерные векторные пространства над полем K{displaystyle K} , {ei}i=1…n{displaystyle {e_{i}}_{i=1dots n}}  — базис в A{displaystyle A} , {fk}k=1…m{displaystyle {f_{k}}_{k=1dots m}}  — базис в B{displaystyle B} . Тензорным произведением A⊗B{displaystyle Aotimes B}  пространств A{displaystyle A}  и B{displaystyle B}  будем называть векторное пространство, порождённое элементами ei⊗fk{displaystyle e_{i}otimes f_{k}} , называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение a⊗b{displaystyle aotimes b}  произвольных векторов a∈A, b∈B{displaystyle ain A,~bin B}  можно определить, полагая операцию ⊗{displaystyle otimes }  билинейной:

(λa1+μa2)⊗b=λa1⊗b+μa2⊗b,  λ,μ∈K{displaystyle (lambda a_{1}+mu a_{2})otimes b=lambda ,a_{1}otimes b+mu ,a_{2}otimes b,~~lambda ,mu in K} 
a⊗(λb1+μb2)=λa⊗b1+μa⊗b2,  λ,μ∈K{displaystyle aotimes (lambda b_{1}+mu b_{2})=lambda ,aotimes b_{1}+mu ,aotimes b_{2},~~lambda ,mu in K} 

При этом тензорное произведение произвольных векторов a{displaystyle a}

  и b{displaystyle b}  выражается как линейная комбинация базисных векторов ei⊗fk{displaystyle e_{i}otimes f_{k}} . Элементы в A⊗B{displaystyle Aotimes B} , представимые в виде a⊗b{displaystyle aotimes b} , называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства C{displaystyle C}

  и билинейного отображения ⊗′:A×B→C{displaystyle otimes ^{prime }:Atimes Bto C}  существует единственный гомоморфизм f:A⊗B→C{displaystyle f:Aotimes Bto C}  такой, что

⊗′=f∘⊗{displaystyle otimes ^{prime }=fcirc otimes } 

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в A{displaystyle A}

  и B{displaystyle B} , так как все получающиеся при этом пространства A⊗B{displaystyle Aotimes B}  оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, произвольное билинейное отображение L2∋φ:A×B→C{displaystyle L^{2}ni varphi :Atimes Bto C}

  может быть определено как линейное отображение L∋φ:A⊗B→C{displaystyle Lni varphi :Aotimes Bto C} , причём достаточно задать его лишь на произведениях базисных векторов.

Пространства  L2(A×B,C){displaystyle L^{2}(Atimes B,C)}

  и L(A⊗B,C){displaystyle L(Aotimes B,C)}  являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть V1, V2, и V3 — три векторных пространства. Тензорное произведение V1 ⊗ V2 ⊗ V3, вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

φ:V1×V2×V3→V1⊗V2⊗V3{displaystyle varphi :V_{1}times V_{2}times V_{3}to V_{1}otimes V_{2}otimes V_{3}} 

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение F из прямого произведения в векторное пространство W

F:V1×V2×V3→W{displaystyle F:V_{1}times V_{2}times V_{3}to W} 

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

F=L∘φ{displaystyle F=Lcirc varphi } 

где L — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если V1, V2, и V3 — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

V1⊗V2⊗V3≅V1⊗(V2⊗V3)≅(V1⊗V2)⊗V3.{displaystyle V_{1}otimes V_{2}otimes V_{3}cong V_{1}otimes (V_{2}otimes V_{3})cong (V_{1}otimes V_{2})otimes V_{3}.} 

В общем случае, тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств Vi, i ∈ I, определяется как универсальный объекст для полилинейных отображений из прямого произведения ∏i∈IVi.{displaystyle scriptstyle prod _{iin I}V_{i}.}

 

Пусть n — произвольное натуральное число. N-й тензорной степенью пространства V называется тензорное произведение n копий V:

V⊗n=defV⊗⋯⊗V⏟n.{displaystyle V^{otimes n};{overset {mathrm {def} }{=}};underbrace {Votimes cdots otimes V} _{n}.} 

Функториальность

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть A:U1→U2{displaystyle A:U_{1}to U_{2}}

 , B:W1→W2{displaystyle B:W_{1}to W_{2}}  — линейные операторы. Тензорное произведение операторов A⊗B:U1⊗W1→U2⊗W2{displaystyle Aotimes B:U_{1}otimes W_{1}to U_{2}otimes W_{2}}  определяется по правилу

(A⊗B)(u⊗w)=(Au)⊗(Bw),  u∈U1,w∈W1{displaystyle (Aotimes B)(uotimes w)=(Au)otimes (Bw),~~uin U_{1},,win W_{1}} 

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.[1]

Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид

A=[a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn]{displaystyle mathrm {A} ={begin{bmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}vdots &ddots &vdots a_{m1}&cdots &a_{mn}end{bmatrix}}} 
B=[b11⋯b1q⋮⋱⋮bp1⋯bpq]{displaystyle mathrm {B} ={begin{bmatrix}b_{11}&cdots &b_{1q}vdots &ddots &vdots b_{p1}&cdots &b_{pq}end{bmatrix}}} 

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

A⊗B=[a11B⋯a1nB⋮⋱⋮am1B⋯amnB]={displaystyle mathrm {A} otimes mathrm {B} ={begin{bmatrix}a_{11}B&cdots &a_{1n}Bvdots &ddots &vdots a_{m1}B&cdots &a_{mn}Bend{bmatrix}}=} 

=[a11b11a11b12⋯a11b1q⋯⋯a1nb11a1nb12⋯a1nb1qa11b21a11b22⋯a11b2q⋯⋯a1nb21a1nb22⋯a1nb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮a11bp1a11bp2⋯a11bpq⋯⋯a1nbp1a1nbp2⋯a1nbpq⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮am1b11am1b12⋯am1b1q⋯⋯amnb11amnb12⋯amnb1qam1b21am1b22⋯am1b2q⋯⋯amnb21amnb22⋯amnb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮am1bp1am1bp2⋯am1bpq⋯⋯amnbp1amnbp2⋯amnbpq]{displaystyle ={begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&cdots &a_{11}b_{1q}&cdots &cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&cdots &a_{1n}b_{1q}a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&cdots &a_{11}b_{2q}&cdots &cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&cdots &a_{1n}b_{2q}vdots &vdots &ddots &vdots &&&vdots &vdots &ddots &vdots a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&cdots &a_{11}b_{pq}&cdots &cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&cdots &a_{1n}b_{pq}vdots &vdots &&vdots &ddots &&vdots &vdots &&vdots vdots &vdots &&vdots &&ddots &vdots &vdots &&vdots a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&cdots &a_{m1}b_{1q}&cdots &cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&cdots &a_{mn}b_{1q}a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&cdots &a_{m1}b_{2q}&cdots &cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&cdots &a_{mn}b_{2q}vdots &vdots &ddots &vdots &&&vdots &vdots &ddots &vdots a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&cdots &a_{m1}b_{pq}&cdots &cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&cdots &a_{mn}b_{pq}end{bmatrix}}} 

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаи

Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

a⊗b→[a1a2a3a4][b1b2b3]=[a1b1a1b2a1b3a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b3a4b1a4b2a4b3]{displaystyle mathbf {a} otimes mathbf {b} rightarrow {begin{bmatrix}a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}end{bmatrix}}} 

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

a⊗b→aibj{displaystyle mathbf {a} otimes mathbf {b} rightarrow a_{i}b^{j}} 

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, компоненты ( координаты ) тензора, равны произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

Pi j=aibj{displaystyle P_{i}^{ j}=a_{i}b^{j}} 
Pij =aibj{displaystyle P_{ij} =a_{i}b_{j}} 
Pij =aibj{displaystyle P^{ij} =a^{i}b^{j}} 

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Свойства

  • dim⁡A⊗B=dim⁡A⋅dim⁡B{displaystyle dim Aotimes B=dim Acdot dim B} 

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

  • Ассоциативность
(A⊗B)⊗C≃A⊗(B⊗C){displaystyle (Aotimes B)otimes Csimeq Aotimes (Botimes C)} 
  • Коммутативность
A⊗B≃B⊗A{displaystyle Aotimes Bsimeq Botimes A} 
  • Линейность
A⊗(B⊕C)≃(A⊗B)⊕(A⊗C){displaystyle Aotimes (Boplus C)simeq (Aotimes B)oplus (Aotimes C)} 
⊕{displaystyle oplus }  — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей

Пусть A1,A2,…,An{displaystyle A_{1},A_{2},dots ,A_{n}}

  — модули над некоторым коммутативным кольцом R{displaystyle R} . Тензорным произведением модулей называется модуль B{displaystyle B}  над R{displaystyle R} , данный вместе с полилинейным отображением f:A1×⋯×An→B{displaystyle fcolon A_{1}times dots times A_{n}to B}  и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля C{displaystyle C}  над R{displaystyle R}  и любого полилинейного отображения g:A1×⋯×An→C{displaystyle gcolon A_{1}times dots times A_{n}to C}  существует единственный гомоморфизм модулей h:B→C{displaystyle hcolon Bto C}  такой, что диаграммаTensor product1.gif 

коммутативна. Тензорное произведение обозначается A1⊗…⊗An{displaystyle A_{1}otimes ldots otimes A_{n}}

 . Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль M{displaystyle M}

 , образующими которого будут n-ки элементов модулей (x1,…,xn){displaystyle (x_{1},dots ,x_{n})}  где xi∈Ai{displaystyle x_{i}in A_{i}} . Пусть N{displaystyle N}  — подмодуль M{displaystyle M} , порождаемый следующими элементами:

  1. (x1,…,xi+yi,…,xn)−(x1,…,xi,…,xn)−(x1,…,yi,…,xn){displaystyle (x_{1},dots ,x_{i}+y_{i},dots ,x_{n})-(x_{1},dots ,x_{i},dots ,x_{n})-(x_{1},dots ,y_{i},dots ,x_{n})} 
  2. (x1,…,λxi,…,xn)−λ(x1,…,xi,…,xn){displaystyle (x_{1},dots ,lambda x_{i},dots ,x_{n})-lambda (x_{1},dots ,x_{i},dots ,x_{n})} 

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль B=M/N{displaystyle B=M/N}

 , класс (x1,…,xn)+N{displaystyle (x_{1},dots ,x_{n})+N}  обозначается x1⊗⋯⊗xn{displaystyle x_{1}otimes dots otimes x_{n}} , и называется тензорным произведением элементов xi{displaystyle x_{i}} , a f{displaystyle f}  определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение f:A1×⋯×An→B{displaystyle fcolon A_{1}times dots times A_{n}to B}

  полилинейно. Докажем, что для для любого модуля C{displaystyle C}  и любого полилинейного отображения g:A1×⋯×An→C{displaystyle gcolon A_{1}times dots times A_{n}to C}  существует единственный гомоморфизм модулей h{displaystyle h} , такой, что g=h∘f{displaystyle g=hcirc f} .

В самом деле, так как M{displaystyle M}

  свободен, то существует единственное отображение h∗{displaystyle h^{*}} , делающее диаграммуTensor product2.gif 

коммутативной, а в силу того, что g{displaystyle g}

  полилинейно, то на N{displaystyle N}  h∗(N)=0{displaystyle h^{*}(N)=0} , отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что h:M/N→C{displaystyle hcolon M/Nto C} , будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы A1⊗⋯⊗An{displaystyle A_{1}otimes dots otimes A_{n}}

 , представимые в виде x1⊗⋯⊗xn{displaystyle x_{1}otimes dots otimes x_{n}} , называются разложимыми.

Если fi:Ai→Bi{displaystyle f_{i}colon A_{i}to B_{i}}

  — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

f1⊗⋯⊗fn:A1⊗⋯⊗An→B1⊗⋯⊗Bn{displaystyle f_{1}otimes dots otimes f_{n}colon A_{1}otimes dots otimes A_{n}to B_{1}otimes dots otimes B_{n}} 

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов fi{displaystyle f_{i}}

 .

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть ei1,…,ein{displaystyle e_{i1},dots ,e_{in}}

  — базис модуля Ai{displaystyle A_{i}} . Построим свободный модуль F{displaystyle F}  над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам (e1m,e2p,…,ens){displaystyle (e_{1m},e_{2p},dots ,e_{ns})} , определив отображение f(e1m,e2p,…,ens)→(e1m,e2p,…,ens){displaystyle f(e_{1m},e_{2p},dots ,e_{ns})to (e_{1m},e_{2p},dots ,e_{ns})}  и распространив его на A1×⋯×An{displaystyle A_{1}times dots times A_{n}}  по линейности. Тогда F{displaystyle F}  является тензорным произведением, где (e1m,e2p,…,ens){displaystyle (e_{1m},e_{2p},dots ,e_{ns})}  является тензорным произведением элементов e1m⊗e2p⊗⋯⊗ens{displaystyle e_{1m}otimes e_{2p}otimes dots otimes e_{ns}} . Если число модулей и все их базисы конечны, то

rank(A1⊗⋯⊗An)=rankA1⋅⋯⋅rankAn{displaystyle rank(A_{1}otimes dots otimes A_{n})=rankA_{1}cdot dots cdot rankA_{n}} .

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

Примечания

  1. ↑ Hazewinkel, Michiel. Algebras, rings and modules / Michiel Hazewinkel, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Nadiya Gubareni … [и др.]. — Springer, 2004. — P. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4.

См. также

Читайте также