Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов[⇨], поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств[⇨]. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств[⇨], обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств[⇨].
Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики[1]. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту[2].
Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее, нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений[⇨], в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств[en] (развиваемая в основном чешскими математиками).
Ключевые понятия теории[⇨]: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, несчётная), трансфинитная индукция.
Одна из визуализаций трёхмерного варианта канторова множества — нигде не плотного совершенного множества
Содержание
История
Предпосылки
Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён Древней Греции: например, в том или ином виде рассматривались отношения включения множеств всех рациональных, целых, натуральных, нечётных, простых чисел. Зачатки идеи о равномощности множеств встречаются у Галилея: рассуждая о соответствии между числами и их квадратами, он обращает внимание на неприменимость аксиомы «целое больше части» к бесконечным объектам (парадокс Галилея)[3].
Первое представление об актуально бесконечном множестве относят к работам Гаусса начала 1800-х годов, опубликованным в его «Арифметических исследованиях»[4], в которых, вводя сравнения на множестве рациональных чисел, он обнаруживает классы эквивалентности (классы вычетов) и разбивает всё множество на эти классы, отмечая их бесконечность и взаимное соответствие, рассматривает бесконечное множество решений ax+b≡0(modn){displaystyle ax+bequiv 0{pmod {n}}}
как единую совокупность, классифицирует бинарные квадратичные формы (ax2+2bxy+cy2{displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}} ) в зависимости от определителя и рассматривает этот бесконечный набор классов как бесконечные совокупности объектов нечисловой природы, предполагает возможность выбирать из классов эквивалентностей по одному объекту-представителю всего класса[5]: использует методы, характерные для теоретико-множественного подхода, не использовавшиеся явно в математике до XIX века. В более поздних работах Гаусс, рассматривая совокупность комплексных чисел с рациональными вещественной и мнимой частью, говорит о вещественных, положительных, отрицательных, чисто мнимых целых числах как её подмножествах[6]. Однако бесконечные множества или классы как самостоятельные объекты исследования Гауссом явно не выделялись, более того, Гауссу принадлежат высказывания против возможности использования актуальной бесконечности в математических доказательствах[7].
Более отчётливое представление о бесконечных множествах проявляется в работах Дирихле, в курсе лекций 1856—1857 годов[8], построенном на основе гауссовых «Арифметических исследований». В работах Галуа, Шёмана и Серре по теории функциональных сравнений 1820—1850-х годов также намечаются элементы теоретико-множественного подхода, которые обобщил Дедекинд в 1857 году, явно сформулировавший в качестве одного из выводов необходимость рассмотрения целой системы бесконечно многих сравнимых чисел как единого объекта, общие свойства которого равным образом присущи всем его элементам, а систему бесконечно многих несравнимых классов уподобляет ряду целых чисел[9]. Отдельные понятия теории множеств можно встретить в трудах Штейнера и Штаудта 1830—1860-х годов по проективной геометрии: практически весь предмет в значительной степени зависит от представления о взаимно-однозначном соответствии, ключевом для теории множеств, однако в проективной геометрии на такие соответствия накладывались дополнительные ограничения (сохранение некоторых геометрических соотношений). В частности, Штейнер явно вводит понятие несчётного множества для множества точек на прямой и множества лучей в пучке и оперирует с их несчётными подмножествами, а в работе 1867 года вводит понятие мощности как характеристики множеств, между которыми возможно установить проективное соответствие (Кантор позднее указывал, что заимствовал само понятие и термин у Штейнера, обобщив проективное соответствие до взаимно-однозначного)[10].
Наиболее близкие к наивной теории множеств Кантора представления содержатся в трудах Больцано[11], прежде всего, в работе «Парадоксы бесконечного»[en], опубликованной после смерти автора в 1851 году, в которой рассматриваются произвольные числовые множества, и для их сравнения явно определено понятие взаимно-однозначного соответствия, и сам термин «множество» (нем. menge) также впервые систематически использован в этой работе. Однако, работа Больцано носит в большей степени философский характер, нежели математический, в частности, в ней нет чёткого разграничения между мощностью множества и понятием величины или порядка бесконечности, и сколь-нибудь формальной и целостной математической теории в этих представлениях нет[12]. Наконец, теории вещественного числа Вейерштрасса, Дедекинда и Мерэ, созданные в конце 1850-х годов и опубликованные в начале 1860-х во многом перекликаются с идеями наивной теории множеств в том смысле, что рассматривают континуум как множество, образованное из рациональных и иррациональных точек[13].
Наивная теория множеств
Георг Кантор в 1870 году Схема доказательства счётности множества рациональных чисел Схематическая идея доказательства теоремы Кантора — БернштейнаОсновная статья: Наивная теория множеств
Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых вводит понятие предельной точки, близкое к современному[14] и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные)[15]. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно[en] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса[16][17]. В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между R{displaystyle mathbb {R} }
и Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} (для любого n>0{displaystyle n>0} ). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств[18][19].
В 1877 году Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на двойственность операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:
- (A+B)−(A+C)=A+(B−(A+C)){displaystyle (A+B)-(A+C)=A+(B-(A+C))} ,
- (A−B)+(A−C)=A−(B+(A−C)){displaystyle (A-B)+(A-C)=A-(B+(A-C))} ,
в последующих своих работах многократно используя этот результат[20]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот[de], Томе[de], Нетто) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей[21] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).
В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон[se], Гарнак, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций[22]. В работе 1883 года Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также строит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество)[23], а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).
С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»[24] (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна[25], изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций[26]. Шрёдер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.
В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств[27][28].
С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии[29]. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом[30].
Парадоксы
Основная статья: Парадоксы теории множеств
Размытость понятия множества в наивной теории, при которой допускалось построение множеств лишь по признаку сбора всех объектов, обладающих каким-либо свойством, привела к тому, что в период 1895—1925 годов была обнаружена значительная серия противоречий, внесшая серьёзные сомнения в возможность использования теории множеств как фундаментального инструмента, ситуация получила известность как «кризис оснований математики»[31].
Противоречие, к которому приводит рассмотрение множества всех порядковых чисел впервые обнаружено Кантором в 1895 году[32], переоткрыто и впервые опубликовано Бурали-Форти (итал. Cesare Burali-Forti) в 1897 году, и стало известно как парадокс Бурали-Форти[33]. В 1899 году в письме Дедекинду Кантор впервые говорит о противоречивости универсума как множества всех множеств, так как множество всех его подмножеств должно было бы быть равномощно самому себе, не удовлетворяя принципу m<2m{displaystyle {mathfrak {m}}<2^{mathfrak {m}}}
[34], впоследствии эта антиномия стала известна как парадокс Кантора. В дальнейшей переписке Кантор предложил рассматривать собственно множества (нем. mengen), которые могут быть мыслимы как единый объект, и «многообразия» (vielheiten) для сложных конструкций, в том или ином виде эта идея нашла отражения в некоторых поздних аксиоматизациях и обобщениях[35].
Наиболее значительным противоречием, повлиявшим на дальнейшее развитие теории множеств и оснований математики в целом стал парадокс Рассела, обнаруженный около 1901 года Бертраном Расселом и опубликованный в 1903 году в монографии «Основания математики». Суть парадокса в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств, не включающих себя. Кроме того, примерно к тому же времени относится обнаружение таких антиномий как парадокс Ришара, парадокс Берри и парадокс Греллинга — Нельсона, показывающих противоречия при попытках использования самореференции свойств элементов при построении множеств.
В результате осмысления возникших парадоксов в сообществе математиков возникло два направления по разрешению возникших проблем: формализация теории множеств посредством подбора системы аксиом, обеспечивающей непротиворечивость при сохранении инструментальной мощи теории, второе — исключение из рассмотрения всех не поддающихся интуитивному осмыслению конструкций и методов. В рамках первого направления, начатого Цермело, Гильбертом, Бернайсом, Хаусдорфом, было создано несколько вариантов аксиоматической теории множеств[⇨] и за счёт довольно искусственных ограничений преодолены основные противоречия. Второе направление, основным выразителем которого был Брауэр, породило новое направление в математике — интуиционизм, и в той или иной мере оно было поддержано Пуанкаре, Лебегом, Борелем, Вейлем.
Аксиоматическая теория множеств
Основная статья: Аксиоматика теории множеств
Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело, центральную роль в исключении парадоксов в этой системе должна была сыграть «аксиома селекции» (нем. aussonderung), согласно которой от свойства P(x){displaystyle P(x)}
только тогда можно образовать множество {x∣P(x)}{displaystyle {xmid P(x)}} , если из P(x){displaystyle P(x)} следует отношение вида x∈A{displaystyle xin A} [35]. В 1922 году благодаря работам Скулема и Френкеля система на базе аксиом Цермело была окончательно сформирована, включив аксиомы объёмности, существования пустого множества, пары, суммы, степени, бесконечности и с вариантами с аксиомой выбора и без неё. Эти аксиоматики получили наибольшее распространение и известны как теория Цермело — Френкеля, система с аксиомой выбора обозначается ZFC, без аксиомы выбора — ZF.
Особая роль аксиомы выбора связана с её интуитивной неочевидностью и заведомым отсутствием эффективного способа определения множества, собранного из элементов семейства. В частности Борель и Лебег считали, что доказательства, полученные с её применением, имеют другую познавательную ценность, нежели доказательства, независимые от неё, тогда как Гильберт и Хаусдорф принимали её безоговорочно, признавая за ней не меньшую степень очевидности, что и за другими аксиомами ZF[36].
Другой получивший распространение вариант аксиоматизации теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году, формализован в 1930-е годы Бернайсом, и упрощён Гёделем в 1940 году (в работе по доказательству независимости континуум-гипотезы от аксиомы выбора), окончательный вариант получил известность как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначение NGB[37].
Дескриптивная теория множеств
Запрос «Дескриптивная теория множеств»[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.
В начале XX века в работах Лебега, Бэра, Бореля исследованы вопросы измеримости множеств. На основе этих работ в 1910—1930 годы разработана теория дескриптивных множеств, систематически изучающая внутренние свойства множеств, построенных теоретико-множественными операциями из объектов относительно простой природы — открытых и замкнутых множеств евклидова пространства, метрических пространств, метризуемых топологических пространств со счётной базой. Основной вклад в создание теории внесли Лузин, Александров, Суслин, Хаусдорф. С 1970-х годов разрабатываются обобщения дескриптивной теории множеств на случай более общих топологических пространств.
Основные понятия
Диаграмма Венна, показывающая все пересечения графем заглавных букв греческого, русского и латинского алфавитов Декартово произведение {x,y,z}×{1,2,3}{displaystyle {x,y,z}times {1,2,3}}
В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение принадлежности множества (обозначается как x∈A{displaystyle xin A}
[38] — «x{displaystyle x} есть элемент множества A{displaystyle A} », «x{displaystyle x} принадлежит множеству A{displaystyle A} »). Пустое множество, обычно обозначается символом ∅{displaystyle varnothing } — множество, не содержащее ни одного элемента. Подмножество и надмножество — соотношения включения одного множества в другое (обозначаются соответственно A⊆B{displaystyle Asubseteq B} и A⊇B{displaystyle Asupseteq B} для нестрогого включения и A⊂B{displaystyle Asubset B} и A⊃B{displaystyle Asupset B} — для строгого).
Над множествами определены следующие операции:
- объединение, обозначается как A∪B{displaystyle Acup B} — множество, содержащее все элементы из A{displaystyle A} и B{displaystyle B} ,
- разность, обозначается как A∖B{displaystyle Asetminus B} , реже A−B{displaystyle A-B} — множество элементов A{displaystyle A} , не входящих в B{displaystyle B} ,
- дополнение, обозначается как ∖A{displaystyle setminus A} или −A{displaystyle -A} — множество всех элементов, не входящих в A{displaystyle A} (в системах, использующих универсальное множество),
- пересечение, обозначается как A∩B{displaystyle Acap B} — множество из элементов, содержащихся как в A{displaystyle A} , так и в B{displaystyle B} ,
- симметрическая разность, обозначается как A△B{displaystyle Atriangle B} , реже A−˙B{displaystyle A{dot {-}}B} — множество элементов, входящих только в одно из множеств — A{displaystyle A} или B{displaystyle B} .
Объединение и пересечение также часто рассматривают над семействами множеств, обозначаются ⋃A{displaystyle bigcup {mathfrak {A}}}
и ⋂A{displaystyle bigcap {mathfrak {A}}} и составляют, соответственно, объединение всех множеств, входящих в семейство A{displaystyle {mathfrak {A}}} и пересечение всех множеств, входящих в семейство.
Объединение и пересечение коммутативны, ассоциативны и идемпотентны. В зависимости от выбора системы аксиом и наличия дополнения алгебра множеств (относительно объединения и пересечения) может образовывать дистрибутивную решётку, полную дистрибутивную решётку, булеву алгебру. Для визуализации операций над множествами используются диаграммы Венна.
Декартово произведение множеств A{displaystyle A}
и B{displaystyle B} — множество всех упорядоченных пар элементов из A{displaystyle A} и B{displaystyle B} : A×B={(x,y)∣x∈A∧y∈B}{displaystyle Atimes B={(x,y)mid xin Aland yin B}} . Отображение f{displaystyle f} множества A{displaystyle A} в множество B{displaystyle B} теории множеств рассматривается как бинарное отношение — подмножество A×B{displaystyle Atimes B} — с условием единственности соответствия первого элемента второму: (x,y)∈f⇒∀z≠y((x,z)∉f){displaystyle (x,y)in fRightarrow forall zneq y((x,z)notin f)} .
Булеан — множество всех подмножеств данного множества, обозначается P(A){displaystyle {mathcal {P}}(A)}
или 2A{displaystyle 2^{A}} (так как соответствует множеству отображений из A{displaystyle A} в 2={0,1}{displaystyle mathbf {2} ={0,1}} ).
Мощность множества (кардинальное число) — характеристика количества элементов множества, формально определяется как класс эквивалентности над множествами, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, обозначается |A|{displaystyle |A|}
или ♯A{displaystyle sharp A} . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств — целое число, равное количеству элементов. Над кардинальными числами, в том числе характеризующими бесконечные множества, можно установить отношение порядка, мощность счётного множества обозначается ℵ0{displaystyle aleph _{0}} (алеф — первая буква еврейского алфавита), является наименьшей из мощностей бесконечных множеств, мощность континуума обозначается c{displaystyle {mathfrak {c}}} или 2ℵ0{displaystyle 2^{aleph _{0}}} , континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.[39] Представление порядковых чисел до ωω{displaystyle omega ^{omega }}
Если кардинальное число характеризует класс эквивалентности множеств относительно возможности установить взаимно-однозначное соответствие, то порядковое число (ординал) — характеристика классов эквивалентности вполне упорядоченных множеств относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Строятся ординалы посредством введения арифметики порядковых чисел[en]* (с операциями сложения и умножения), порядковое число конечных множеств совпадает с кардиналом (обозначается соответствующим натуральным числом), порядковое число множества всех натуральных чисел с естественным порядком обозначается как ω{displaystyle omega }
, далее конструируются числа:
- ω+1,ω+2,…,ω⋅2,ω⋅2+1,…,ω2,…ωω,…,ωωω,…,{displaystyle omega +1,omega +2,dots ,omega cdot 2,omega cdot 2+1,dots ,omega ^{2},dots omega ^{omega },dots ,omega ^{omega ^{omega }},dots ,} ,
после чего вводятся ε0{displaystyle varepsilon _{0}}
-числа[en]:
- ε0=ωωω⋅⋅⋅=sup{ω,ωω,ωωω,ωωωω,…}{displaystyle varepsilon _{0}=omega ^{omega ^{omega ^{cdot ^{cdot ^{cdot }}}}}=sup{omega ,omega ^{omega },omega ^{omega ^{omega }},omega ^{omega ^{omega ^{omega }}},dots }} .
Мощность множества всех ω{displaystyle omega }
— и ε{displaystyle varepsilon } -чисел — счётных ординалов, обладает мощностью ℵ1{displaystyle aleph _{1}} .[40]
Обобщения
Средствами теории категорий, зачастую противопоставляемой теории множеств и с инструментальной, и с дидактической точек зрения, Ловер и Тирни (англ. Miles Tierney) в 1970 году создали теорию топосов, изучаемый ею объект — элементарный топос — построен по принципу схожести с поведением множеств в теоретико-множественном понимании, элементарными топосами удалось представить практически все варианты теории множеств.
Теория нечётких множеств — расширение теории множеств, предложенное в 1960-х годах Лотфи Заде[41] в рамках концепции нечёткой логики, в нечёткой теории вместо отношения принадлежности элементов к множеству рассматривается функция принадлежности со значениями в интервале [0,1]{displaystyle [0,1]}
: элемент чётко не принадлежит множеству если функция его принадлежности равна нулю, чётко принадлежит — если единице, в остальных случаях отношение принадлежности считается нечётким. Применяется в теории информации, кибернетике, информатике.
Теория мультимножеств[42], в применении к теории сетей Петри называемая теорией комплектов, рассматривает в качестве основного понятия наборы элементов произвольной природы, в отличие от множества, допускающие присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента, отношение включения в этой теории заменено функцией числа экземпляров: ♯(a,A){displaystyle sharp (a,A)}
— целое число вхождений элемента a{displaystyle a} в мультимножество A{displaystyle A} , при объединении комплектов число экземпляров элементов берётся по максимуму вхождений (♯(a,A1∪A2)=max(♯(a,A1),♯(a,A2){displaystyle sharp (a,A_{1}cup A_{2})=max(sharp (a,A_{1}),sharp (a,A_{2})} ), при пересечении — по минимуму (♯(a,A1∩A2)=min(♯(a,A1),♯(a,A2){displaystyle sharp (a,A_{1}cap A_{2})=min(sharp (a,A_{1}),sharp (a,A_{2})} )[43]. Используется в теоретической информатике, искусственном интеллекте, теории принятия решений.
Альтернативная теория множеств[en] — теория, развиваемая чехословацкими математиками с 1970-х годов, в основном в работах Петра Вопенки (чеш. Petr Vopěnka)[44], основывающаяся на чёткой формализации множества как объекта, индуктивно построимого из пустого множества и заведомо существующих элементов, для свойств объектов, допускающих рассмотрения их в целой совокупности, вводится понятие классов, а для изучения подклассов множеств используется концепция полумножеств[en].
В культуре
«Теоретико-множественные» часы в Берлине показывают время 9:32
В 1960—1970-е годы в рамках теории музыки была создана собственная теория множеств[en], предоставляющая средства чрезвычайно обобщённого описания музыкальных объектов (звуков с их высотами, динамикой, длительностью), взаимоотношения между ними и операции над их группами (такими как транспозиция, обращение). Однако связь с математической теорией множеств более чем опосредованная, и, скорее, терминологическая и культурная: в музыкальной теории множеств рассматриваются только конечные объекты и каких-то существенных теоретико-множественных результатов или значительных конструкций не используется; гораздо в большей степени в этой теории задействованы аппараты теории групп и комбинаторики[45].
Также в большей степени под культурным, нежели содержательным влиянием теории множеств немецким дизайнером Биннингером (нем. Dieter Binninger) в 1975 году были созданы так называемые «теоретико-множественные» часы (нем. Mengenlehreuhr) (также известны как берлинские часы, нем. Berlin-Uhr), вошедшие в Книгу рекордов Гиннеса как первое устройство, использующее пятеричный принцип для отображения времени посредством цветных светящихся индикаторов (первый и второй ряд индикаторов сверху показывает часы, третий и четвёртый — минуты; каждый светящийся индикатор соответствует пяти часам для первого ряда, одному часу для второго ряда, пяти минутам для третьего ряда и одной минуте для четвёртого ряда). Часы установлены в берлинском торгово-офисном комплексе Europa-Center.
Примечания
- ↑ Множеств теория / П. С. Александров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. «<…>явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.) <…> оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики»
- ↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 382.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 39.
- ↑ C. F. Gauss. Disquititiones arithmeticae. — Lipsiae, 1801.
- ↑ Медведев, 1965, с. 15—17.
- ↑ Медведев, 1965, с. 22—23.
- ↑ Медведев, 1965, с. 24.
- ↑ P. G. Lejuen Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. — Braunschweig, 1863., курс к изданию готовил Дедекинд, уже после смерти Дирихле
- ↑ Медведев, 1965, с. 24—27.
- ↑ Медведев, 1965, с. 28—32.
- ↑ Медведев, 1965, с. 74—77.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 39—40.
- ↑ Медведев, 1965, с. 61—67.
- ↑ Медведев, 1965, с. 86—87.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40.
- ↑ Медведев, 1965, с. 94—95.
- ↑ Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21.
- ↑ Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40—41.
- ↑ Медведев, 1965, с. 103—105.
- ↑ Медведев, 1965, с. 107—110.
- ↑ Медведев, 1965, с. 113—117.
- ↑ Медведев, 1965, с. 126—131.
- ↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p.
- ↑ Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном в 1897 году
- ↑ Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157.
- ↑ Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245.
- ↑ Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178.
- ↑ Медведев, 1965, с. 133—137.
- ↑ Бурбаки, 1963, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49.
- ↑ Бурбаки, 1963, Парадоксы теории множеств и кризис оснований, с. 44—53.
- ↑ Не опубликовано, сообщено в письме Гильберту
- ↑ Медведев, 1965, 177—179.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 44.
- ↑ 1 2 Бурбаки, 1963, с. 46.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 61.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 46—47.
- ↑ Символ ∈{displaystyle in } (от греч. εστι — «быть») введён Пеано.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 176—211, 305—327.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 273—303.
- ↑ L. Zadeh. Fuzzy Sets (англ.) // Information and Control. — 1965. — Vol. 5. — P. 338—353. — ISSN 0019-9958. — doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. Архивировано 27 ноября 2007 года.
- ↑ А. Б. Петровский. Пространства множеств и мультимножеств. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 248. — ISBN 5-7262-0633-9.
- ↑ Джеймс Питерсон. Обзор теории комплектов // Теория сетей Петри и моделирование систем = Petri Net Theory and The Modelling of Systems. — М.: Мир, 1984. — С. 231—235. — 264 с. — 8400 экз.
- ↑ П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.
- ↑ M. Schuijer. Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. — Rochester: University Rochester Press, 2008. — 306 p. — ISBN 978-1-58046-270-9.
Литература
- Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
- Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз..
- П. Дж. Коэн. Об основаниях теории множеств (рус.) = P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15. // Успехи математических наук / Ю. И. Манин (перевод). — М., 1974. — Т. XXIX, вып. 5 (179). — С. 169—176. — ISSN 0042-1316.
- К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
- Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
- А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.