Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A{displaystyle A}, что ∀i,j:aij=aji{displaystyle forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}.
, что ∀i,j:aij=aji{displaystyle forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}
.Это означает, что она равна её транспонированной матрице:
- A=AT{displaystyle A=A^{T}}
Примеры
- (abcbdecef),(130326065),(1557),(2){displaystyle {begin{pmatrix}a&b&cb&d&ec&e&fend{pmatrix}},{begin{pmatrix}1&3&03&2&6 &6&5end{pmatrix}},{begin{pmatrix}1&55&7end{pmatrix}},{begin{pmatrix}2end{pmatrix}}}
Свойства
Симметричная матрица всегда квадратная.
Для любой симметричной матрицы A с действительными элементами справедливо следующее:
- она имеет действительные собственные значения
- её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:
-
- Av=λ1v, Aw=λ2w, λ1≠λ2⟹vTw=0{displaystyle Av=lambda _{1}v, Aw=lambda _{2}w, lambda _{1}neq lambda _{2}implies v^{T}w=0}
- из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис
- матрицу A можно привести к диагональному виду: A=QDQT{displaystyle A=QDQ^{T}} , где Q{displaystyle Q} — ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
, где Q{displaystyle Q}
— | Это статья-заготовка по алгебре. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |
