У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал.
Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.
Стоит заметить, что понятие дифференциала из математического анализа содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать в разные стороны, в зависимости от направления получая важные, но совершенно различные объекты. Элементарное отображение касательных пространств зашито в дифференциале отображения, возможность интегрирования — в дифференциальных формах, дифференциалы более высокого порядка — в тензорных расслоениях и струях, общее понятие интегрирования — в теории меры, понятие бесконечной малости лучше всего описывает нестандартный анализ, формальные алгебраические свойства рассматриваются в алгебраической геометрии, функциональный анализ обобщает дифференциал в форме, не вполне очевидно связанной с конструкциями из дифференциальной геометрии, а дифференциал Ито показывает его применение к случайным процессам.
Содержание
- 1 Обозначения
- 2 Использование знака дифференциала
- 3 Определения
- 4 Связанные определения
- 5 Свойства
- 6 История
- 7 Вариации и обобщения
- 8 Литература
Обозначения
Обычно дифференциал функции f{displaystyle f}
обозначается df{displaystyle df} .Некоторые авторы предпочитают обозначать df{displaystyle {rm {d}}f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке x0{displaystyle x_{0}}
обозначается dx0f{displaystyle d_{x_{0}}f} , а иногда dfx0{displaystyle df_{x_{0}}} или df[x0]{displaystyle df[x_{0}]} ,а также df{displaystyle df} , если значение x0{displaystyle x_{0}} ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке x0{displaystyle x_{0}}
от h{displaystyle h} может обозначаться как dx0f(h){displaystyle d_{x_{0}}f(h)} , а иногда dfx0(h){displaystyle df_{x_{0}}(h)} или df[x0](h){displaystyle df[x_{0}](h)} ,а также df(h){displaystyle df(h)} , если значение x0{displaystyle x_{0}} ясно из контекста.
Использование знака дифференциала
- Знак дифференциала используется в выражении для интеграла ∫f(x)dx{displaystyle int f(x),dx} . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал dx{displaystyle dx} вводится как часть определения интеграла.
- Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной f′(x0)=dfdx(x0){displaystyle f'(x_{0})={frac {df}{dx}}(x_{0})} . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции f{displaystyle f} и тождественной функции x{displaystyle x} верно соотношение
- dx0f=f′(x0)⋅dx0x.{displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){cdot }d_{x_{0}}x.}
Определения
Для функций
Дифференциал функции f:R→R{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} }
в точке x0∈R{displaystyle x_{0}in mathbb {R} } может быть определён как линейная функция
- dx0f(h)=f′(x0)h,{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}
где f′(x0){displaystyle f'(x_{0})}
обозначает производную f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} , а h{displaystyle h} — приращение аргумента при переходе от x0{displaystyle x_{0}} к x0+h{displaystyle x_{0}+h} .
Таким образом df{displaystyle df}
есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){displaystyle dfcolon (x_{0},h)mapsto d_{x_{0}}f(h)} .
Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){displaystyle d_{x_{0}}f(h)}
, линейно зависящая от h{displaystyle h} , и для которой верно следующее соотношение
- dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}
Для отображений
Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}
в точке x0∈Rn{displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}} называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{displaystyle d_{x_{0}}fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} такой, что выполняется условие
- dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}
Связанные определения
- Отображение f:Rn→Rm{displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}} если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{displaystyle d_{x_{0}}fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} .
Свойства
- Матрица линейного оператора dx0f{displaystyle d_{x_{0}}f} равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные f{displaystyle f} .
- Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
- Дифференциал функции f{displaystyle f} связан с её градиентом ∇f{displaystyle nabla f} следующим определяющим соотношением
- dx0f(h)=⟨(∇f)(x0),h⟩{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=langle (nabla f)(x_{0}),hrangle }
История
Термин «дифференциал» введён Лейбницем.Изначально dx{displaystyle dx}
применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю.Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.
Вариации и обобщения
- Дифференциалы высших порядков
- Внешний дифференциал
- Дифференциал (дифференциальная геометрия)
- Производная Пеано
- Производная Фреше
Литература
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки. |