wiki

Барицентрические координаты

Барицентрические координаты — координаты точки n{displaystyle n}-мерного аффинного пространства An{displaystyle A^{n}}, отнесенные к некоторой фиксированной системе из (n+1){displaystyle (n+1)}-ой точки p0,p1,…,pn{displaystyle p_{0},;p_{1},;ldots ,;p_{n}}, не лежащих в (n−1){displaystyle (n-1)}-мерном подпространстве.

Пусть z{displaystyle z} есть произвольная точка в An{displaystyle A^{n}}. Каждая точка x∈An{displaystyle xin A^{n}} может быть единственным образом представлена в виде суммы

x=z+α1⋅zp→1+α2⋅zp→2+…+αn⋅zp→n,{displaystyle x=z+alpha _{1}cdot {vec {zp}}_{1}+alpha _{2}cdot {vec {zp}}_{2}+ldots +alpha _{n}cdot {vec {zp}}_{n},}

где α1,α2,…,αn{displaystyle alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{n}} — вещественные числа, удовлетворяющие условию

α1+α2+…+αn=1.{displaystyle alpha _{1}+alpha _{2}+ldots +alpha _{n}=1.}

Числа α1,α2,…,αn{displaystyle alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{n}} называются барицентрическими координатами точки x{displaystyle x}. Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора z{displaystyle z}.

Точка x{displaystyle x}, является центром тяжести масс α1,α2,…,αn{displaystyle alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{n}}, расположенных в точках p1,p2,…,pn{displaystyle p_{1},;p_{2},;ldots ,;p_{n}}.

Свойства

  • Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
  • Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в p1,p2,…,pn{displaystyle p_{1},;p_{2},;ldots ,;p_{n}}  неотрицательны и их сумма равна единице.
  • Обращение в нуль барицентрической координаты αi{displaystyle alpha _{i}}  равносильно тому, что точка лежит на плоскости содержащей грань симплекса, противоположной вершине pi{displaystyle p_{i}} . Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.

История

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 году.

См. также

Читайте также