|
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.Шаблон:/рамка
Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы[1]тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы[2]».
Содержание
О доказательстве
Одно из самых распространённых доказательств основывается на переходе в трёхмерное пространство — достаточно представить оба треугольника двумя сечениями трёхгранной пирамиды.Вся картина при этом рассматривается как проекция на плоскость пространственной структуры.
С введением идеальной точки (точки пересечения всех прямых, параллельных данной) и идеальной прямой (прямой, на которой лежат все идеальные точки) доказательство сводится к демонстрации параллельности всех соответствующих сторон двух треугольников (через отношения сторон подобных треугольников, образованных конкурентными прямыми, соединяющими вершины треугольников): ведь раз так, то прямые, продолженные из таких сторон по определению должны пересекаться в идеальных точках, а они, в свою очередь, по определению лежат на идеальной прямой, что и требовалось доказать. Раз будучи доказанной для данного случая, теорема остается справедливой и для всех треугольников, инвариантных относительно проективных преобразований, общего случая. [3]
Возможно также доказательство через теорему Менелая.
Конфигурация Дезарга
Точки и прямые в теореме Дезарга образуют так называемую конфигурацию Дезарга.Здесь через каждую из 10 точек проходят 3 прямые и на каждой из 10 прямых лежат 3 точки. При этом любая из 10 точек может быть принята за «вершину трёхгранной пирамиды» («дезаргову точку») в приведённом выше доказательстве. Любая прямая, может быть взята как «дезаргова прямая». Фиксирование дезарговой точки или дезарговой прямой полностью определяет всю конфигурацию.
Теорема Дезарга и аксиоматика проективной геометрии
При построении проективной геометрии плоскости, без выхода в трёхмерное пространство, теорема Дезарга не выводится из основных аксиом проективной плоскости. Это означает, что возможно построить проективную плоскость, где теорема Дезарга не верна (см. недезаргова геометрия). При построении дезарговой проективной плоскости утверждение теоремы Дезарга добавляют к системе аксиом проективной плоскости в качестве ещё одной аксиомы.
Вариации и обобщения
Понселе основал на ней свою изящную теорию гомологических фигур. Он называл два треугольника, о которых идет речь в теореме Дезарга, гомологическими, точку пересечения прямых, соединяющих попарно их вершины, центром гомологии, и прямую, на которой попарно пересекаются их стороны, — осью гомологии.
Понселе дал следующую теорему для геометрии в пространстве, как соответствующую теореме Дезарга на плоскости:
|
Если два тетраэдра имеют вершины, лежащие попарно на четырех прямых, сходящихся в одной точке, то плоскости противоположных граней пересекаются почетырем прямым, находящимся в одной плоскости.Шаблон:/рамкаЭта теорема может быть обобщена еще далее следующим образом:
|
Когда вершины двух тетраэдров помещены попарно на четырех прямых, принадлежащих к одной группе образующих гиперболоида с одною полостью, то грани их пересекаются по четырем прямым, которые принадлежат к образующим другого гиперболоида.Шаблон:/рамка
История
Теорема Дезарга была открыта французским геометром Дезаргом: она, вместе с двумя другими, из которых одна есть её обратная, была помещена в конце сочинения Traité de perspective, составленного Боссом согласно началам и методу Дезарга и появившегося в 1636 году. В этом сочинении было отмечено, что это утверждение очевидно, когда треугольники находятся в двух разных плоскостях; рассмотрение же случая, когда они лежат в одной плоскости, доставляет один из первых примеров употребления теореме Менелая у новых геометров. Известность теорема Дезарга получила в начале XIX века благодаря её употреблению в работах Брианшона и Понселе.
См. также
Ссылки
- ↑ то есть точку, в которой пересекаются три прямые, проходящие через пары соответственных вершин
- ↑ то есть прямую, на которой пересекаются прямые, содержащие соответственные стороны
- ↑ Курант, Роббинс. Что такое математика? 2001
|
|
|
