wiki

Sgn

Разделы:

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция. Обозначается sgn x или sgn(x). Определяется следующим образом:

График функции y = sgn x

sgn⁡x={ 1,x>0 0,x=0−1,x<0{displaystyle operatorname {sgn} x={begin{cases} 1,&x>0\ 0,&x=0\-1,&x<0end{cases}}} $operatorname{sgn} x={begin{cases} 1,&x>0\ 0,&x=0\-1,&x<0end{cases}}$

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

sgn⁡x=ddx|x|{displaystyle ~operatorname {sgn} x={frac {d}{dx}}|x|}

~operatorname{sgn} x={frac {d}{dx}}|x|

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

Содержание

1 История
2 Свойства функции
3 См. также
4 Литература

История

Функцию sgn(x) ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: [x]. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с sgn, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение sgn⋅x{displaystyle sgncdot x}

$sgncdot x$ , которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.

Свойства функции

Область определения: (−∞;+∞){displaystyle (-infty ;+infty )} $(- infty ; + infty )$ .
Область значений: {−1;0;+1}{displaystyle ~{-1;0;+1}} $~{-1;0;+1}$ .
Гладка во всех точках, кроме нуля.
Функция нечётна.
Точка x=0{displaystyle x=0} $x=0$ является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны +1{displaystyle +1} $+1$ и −1{displaystyle -1} $-1$ соответственно.
|x|=sgn⁡x⋅x{displaystyle |x|=operatorname {sgn} xcdot x} $|x|=operatorname{sgn} xcdot x$ и x=sgn⁡x⋅|x|{displaystyle x=operatorname {sgn} xcdot |x|} $x=operatorname{sgn} xcdot |x|$ для ∀x∈R{displaystyle forall xin mathbb {R} } $forall xin {mathbb {R}}$
ddxsgn⁡x=2⋅δ(x){displaystyle {frac {d}{dx}}operatorname {sgn} x=2cdot delta (x)} ${frac {d}{dx}}operatorname{sgn} x=2cdot delta (x)$ , где δ(x){displaystyle delta (x)} $delta (x)$ — дельта-функция Дирака.
sgn⁡x⋅sgn⁡y=sgn⁡(x⋅y){displaystyle operatorname {sgn} xcdot operatorname {sgn} y=operatorname {sgn}(xcdot y)} $operatorname{sgn} xcdot operatorname{sgn} y=operatorname{sgn}(xcdot y)$

См. также

Функция Хевисайда

Литература

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.