4-вектор

Разделы:

4-вектор (четыре-вектор, четырёхвектор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского. Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.

В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1, 2, 3 — совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым, однако не слишком редко — в силу своего удобства — используется и в современной литературе.
4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

Содержание

1 Примеры 4-векторов
2 Свойства
3 Обозначения
4 4-вектор в математике
5 История
6 Литература

Примеры 4-векторов

4-перемещение

dxi=(cdt, dx, dy, dz){displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz)} ${displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz)}$ ,
4-скорость

ui=dxidτ{displaystyle u^{i}={frac {dx^{i}}{dtau }}} ${displaystyle u^{i}={frac {dx^{i}}{dtau }}}$ , где τ{displaystyle tau } $tau$ — «собственное время», равное интервалу, измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.
4-ускорение

ai=duidτ{displaystyle a^{i}={frac {du^{i}}{dtau }}} ${displaystyle a^{i}={frac {du^{i}}{dtau }}}$ , где τ{displaystyle tau } $tau$ — см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.
4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс);
четырёхмерная плотность тока (4-ток)

ji=(cρ, jx, jy, jz);{displaystyle j^{i}=(crho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});} $j^{i}=(crho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
волновой 4-вектор

ki=(ωc,−kx,−ky,−kz);{displaystyle k_{i}=left({frac {omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}right);} $k_{i}=left({frac {omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}right);$
Электромагнитный потенциал

Ai=(φ, −Ax, −Ay, −Az).{displaystyle A_{i}=(varphi ,~-A_{x},~-A_{y},~-A_{z}).} $A_{i}=(varphi ,~-A_{x},~-A_{y},~-A_{z}).$

Свойства

Закон преобразования четырёхвектора:

A~i=∑iSji Aj{displaystyle ~{tilde {A}}^{i}=sum _{i}S_{j}^{i} A^{j}}

{displaystyle ~{tilde {A}}^{i}=sum _{i}S_{j}^{i} A^{j}}

где Sji{displaystyle S_{j}^{i}}

$S_{j}^{i}$ — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
- Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
- Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: m2=E2/c4−p2/c2{displaystyle m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}} $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$ и т. д.

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор a{displaystyle a}

$a$ обозначается как:ai{displaystyle a^{i}} $a^{i}$ (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или ai.{displaystyle a_{i}.} $a_{i}.$

Координаты, пространственную и временную, обычно обозначают как xi{displaystyle x^{i}}

$x^i$ .

Что означает при этом использование верхнего (ai{displaystyle a^{i}}

$a^{i}$ ) или нижнего ai{displaystyle a_{i}} $a_{i}$ индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчета, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

(a,b)=aibi≡∑iaibi=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4=a1b1−a2b2−a3b3−a4b4{displaystyle (a,b)=a^{i}b_{i}equiv sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}

(a,b)=a^{i}b_{i}equiv sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

и в частности

(a)2=(a,a)=aiai≡∑iaiai=a1a1+a2a2+a3a3+a4a4=(a1)2−(a2)2−(a3)2−(a4)2{displaystyle (a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}equiv sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1}+a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}}

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}equiv sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1}+a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца ηij{displaystyle eta _{ij}}

$eta _{{ij}}$ (или ηij{displaystyle eta ^{ij}} $eta ^{{ij}}$ ):

(a,b)=ηijaibj≡∑i,jηijaibi=a1b1−a2b2−a3b3−a4b4{displaystyle (a,b)=eta _{ij}a^{i}b^{j}equiv sum _{i,j}eta _{ij}a^{i}b^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}}

(a,b)=eta _{{ij}}a^{i}b^{j}equiv sum _{{i,j}}eta _{{ij}}a^{i}b^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

или

(a,b)=ηijaibj≡∑i,jηijaibi=a1b1−a2b2−a3b3−a4b4{displaystyle (a,b)=eta ^{ij}a_{i}b_{j}equiv sum _{i,j}eta ^{ij}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}

(a,b)=eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}equiv sum _{{i,j}}eta ^{{ij}}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчета, в том числе при учете гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики ηij{displaystyle eta _{ij}}

$eta _{{ij}}$ приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику gij.{displaystyle g_{ij}.} $g_{ij}.$ (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше надо в общем случае заменить ηij{displaystyle eta _{ij}} $eta _{{ij}}$ на gij{displaystyle g_{ij}} $g_{ij}$ , а ηij{displaystyle eta ^{ij}} $eta ^{{ij}}$ на gij{displaystyle g^{ij}} $g^{ij}$ ). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестает действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрикиgij{displaystyle g_{ij}} $g_{ij}$ общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

ai=gijaj≡∑jgijaj,{displaystyle a^{i}=g^{ij}a_{j}equiv sum _{j}g^{ij}a_{j},}

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}equiv sum _{j}g^{{ij}}a_{j},

ai=gijaj≡∑jgijaj.{displaystyle a_{i}=g_{ij}a^{j}equiv sum _{j}g_{ij}a^{j}.}

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}equiv sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(Как видим, эти формулы были верны и для ηij,{displaystyle eta _{ij},}

$eta _{{ij}},$ но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат xi{displaystyle x^{i}}

$x^i$ уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам dxi{displaystyle dx^{i}} $dx^{i}$ представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке xi{displaystyle x^{i}} $x^i$ ).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: (∂0,−∂1,−∂2,−∂3),{displaystyle (partial _{0},-partial _{1},-partial _{2},-partial _{3}),}

$(partial _{0},-partial _{1},-partial _{2},-partial _{3}),$ так как полный дифференциал df=∂0fdx0+∂1fdx1+∂2fdx2+∂3fdx3{displaystyle df=partial _{0}fdx^{0}+partial _{1}fdx^{1}+partial _{2}fdx^{2}+partial _{3}fdx^{3}} $df=partial _{0}fdx^{0}+partial _{1}fdx^{1}+partial _{2}fdx^{2}+partial _{3}fdx^{3}$ — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за ηij.{displaystyle eta _{ij}.} $eta _{{ij}}.$

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временно́й компоненты лишен этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть, о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже ηij,{displaystyle eta _{ij},}

$eta _{{ij}},$ то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

4-перемещение dxμ=(ic dt,dx,dy,dz),{displaystyle ~dx_{mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),} $~dx_{mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4-импульс pμ=(iE/c,px,py,pz),{displaystyle ~p_{mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),} $~p_{mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
четырёхмерная плотность тока jμ=(icρ,jx,jy,jz),{displaystyle ~j_{mu }=(icrho ,j_{x},j_{y},j_{z}),} $~j_{mu }=(icrho ,j_{x},j_{y},j_{z}),$
волновой 4-вектор kμ=(iω/c,kx,ky,kz),{displaystyle ~k_{mu }=(iomega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),} $~k_{mu }=(iomega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
электромагнитный потенциал Aμ=(iϕ,Ax,Ay,Az),{displaystyle ~A_{mu }=(iphi ,A_{x},A_{y},A_{z}),} $~A_{mu }=(iphi ,A_{x},A_{y},A_{z}),$

и т. д., где i — мнимая единица.

4-вектор в математике

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

x:=(ct,x,y,z),{displaystyle mathbf {x} :=left(ct,x,y,zright),}

{mathbf {x}}:=left(ct,x,y,zright),

где c{displaystyle c}

$c$ — скорость света, t{displaystyle t} $t$ — время события, а x,y,z{displaystyle x,y,z} $x,y,z$ — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

История

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.

Литература

Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — гл. 25. «Электродинамика в релятивистских обозначениях». (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся, однако, к контравариантным компонентам 4-векторов).