Эллипс

• Разделы:
  • Связанные определения
  • Соотношения между элементами эллипса
  • Координатное представление
  • Длина дуги эллипса
  • Площадь эллипса и его сегмента
  • Построение эллипса
  • Эллипсы, связанные с треугольником
  • Другие свойства
  • См. также
  • Примечания
  • Литература
  • Ссылки

Не следует путать с Эллипсис.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις «опущение; нехватка, недостаток (эксцентриситета до 1)») — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Эллипс, его фокусы и главные оси Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Комментарии
• 2 Связанные определения
• 3 Соотношения между элементами эллипса
• 4 Координатное представление
  • 4.1 Эллипс как кривая второго порядка
  • 4.2 Каноническое уравнение
  • 4.3 Уравнения в параметрической форме
  • 4.4 В полярных координатах
• 5 Длина дуги эллипса
  • 5.1 Приближённые формулы для периметра
  • 5.2 Точные формулы для периметра
• 6 Площадь эллипса и его сегмента
• 7 Построение эллипса
• 8 Эллипсы, связанные с треугольником
• 9 Другие свойства
• 10 См. также
• 11 Примечания
• 12 Литература
• 13 Ссылки

Определение

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F1{displaystyle F_{1}}

  и F2{displaystyle F_{2}}  (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

|F1M|+|F2M|=2⋅a,{displaystyle |F_{1}M|+|F_{2}M|=2cdot a,}  причём |F1F2|<2⋅a.{displaystyle |F_{1}F_{2}|<2cdot a.} 

Комментарии

• Эллипс также можно определить как
  • фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость.
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Связанные определения

• Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
• Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
• Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
• Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
• Расстояния r1{displaystyle r_{1}}  и r2{displaystyle r_{2}}  от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Расстояние c=|F1F2|2{displaystyle c={frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}}  называется фокальным расстоянием.
• Величина e=ca=1−b2a2{displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}  называется эксцентриситетом.
• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
• Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле r=abb2cos2⁡φ+a2sin2⁡φ=b1−e2cos2⁡φ{displaystyle r={frac {ab}{sqrt {b^{2}cos ^{2}varphi +a^{2}sin ^{2}varphi }}}={frac {b}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}varphi }}}} , где φ{displaystyle varphi }  — угол между радиусом и большой полуосью.
• Фокальным параметром p=b2a{displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}}  называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
• Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: k=ba.{displaystyle k={frac {b}{a}}.}  Величина, равная (1−k)=a−ba,{displaystyle (1-k)={frac {a-b}{a}},}  называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением k2=1−e2.{displaystyle k^{2}=1-e^{2}.} 
• Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как x=±pe(1+e){displaystyle x=pm {frac {p}{eleft(1+eright)}}}  для фокусов (∓p1+e,0){displaystyle left(mp {frac {p}{1+e}},,0right)}  соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно pe.{displaystyle {frac {p}{e}}.} 

Соотношения между элементами эллипса

  Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)

• a{displaystyle {boldsymbol {a}}}  — большая полуось;
• b{displaystyle {boldsymbol {b}}}  — малая полуось;
• c{displaystyle {boldsymbol {c}}}  — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
• p{displaystyle {boldsymbol {p}}}  — фокальный параметр;
• rp{displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}  — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
• ra{displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}  — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

a2=b2+c2{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}

 ;

e=ca=1−b2a2(0⩽e<1){displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}};;;(0leqslant e<1)}

 ;

p=b2a{displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}}

 .

a{displaystyle {boldsymbol {a}}}	b{displaystyle {boldsymbol {b}}}	c{displaystyle {boldsymbol {c}}}	p{displaystyle {boldsymbol {p}}}	rp{displaystyle {boldsymbol {r_{p}}}}	ra{displaystyle {boldsymbol {r_{a}}}}
a{displaystyle {boldsymbol {a}}}  — большая полуось	a{displaystyle {boldsymbol {a}}}	a=b1−e2{displaystyle a={frac {b}{sqrt {1-e^{2}}}}}	a=ce{displaystyle a={frac {c}{e}}}	a=p1−e2{displaystyle a={frac {p}{1-e^{2}}}}	a=rp1−e{displaystyle a={frac {r_{p}}{1-e}}}	a=ra1+e{displaystyle a={frac {r_{a}}{1+e}}}
b{displaystyle {boldsymbol {b}}}  — малая полуось	b=a1−e2{displaystyle b=a{sqrt {1-e^{2}}}}	b{displaystyle {boldsymbol {b}}}	b=c 1−e2e{displaystyle b={frac {c~{sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}	b=p1−e2{displaystyle b={frac {p}{sqrt {1-e^{2}}}}}	b=rp1+e1−e{displaystyle b=r_{p}{sqrt {frac {1+e}{1-e}}}}	b=ra1−e1+e{displaystyle b=r_{a}{sqrt {frac {1-e}{1+e}}}}
c{displaystyle {boldsymbol {c}}}  — фокальное расстояние	c=ae{displaystyle c=ae}	c=be1−e2{displaystyle c={frac {be}{sqrt {1-e^{2}}}}}	c{displaystyle {boldsymbol {c}}}	c=pe1−e2{displaystyle c={frac {pe}{1-e^{2}}}}	c=rpe1−e{displaystyle c={frac {r_{p}e}{1-e}}}	c=rae1+e{displaystyle c={frac {r_{a}e}{1+e}}}
p{displaystyle {boldsymbol {p}}}  — фокальный параметр	p=a(1−e2){displaystyle p=a(1-e^{2})}	p=b 1−e2{displaystyle p=b~{sqrt {1-e^{2}}}}	p=c 1−e2e{displaystyle p=c~{frac {1-e^{2}}{e}}}	p{displaystyle {boldsymbol {p}}}	p=rp(1+e){displaystyle p=r_{p}(1+e)}	p=ra(1−e){displaystyle p=r_{a}(1-e)}
rp{displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}  — перифокусное расстояние	rp=a(1−e){displaystyle r_{p}=a(1-e)}	rp=b 1−e1+e{displaystyle r_{p}=b~{sqrt {frac {1-e}{1+e}}}}	rp=c 1−ee{displaystyle r_{p}=c~{frac {1-e}{e}}}	rp=p1+e{displaystyle r_{p}={frac {p}{1+e}}}	rp{displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}	rp=ra1−e1+e{displaystyle r_{p}=r_{a}{frac {1-e}{1+e}}}
ra{displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}  — апофокусное расстояние	ra=a(1+e){displaystyle r_{a}=a(1+e)}	ra=b 1+e1−e{displaystyle r_{a}=b~{sqrt {frac {1+e}{1-e}}}}	ra=c 1+ee{displaystyle r_{a}=c~{frac {1+e}{e}}}	ra=p1−e{displaystyle r_{a}={frac {p}{1-e}}}	ra=rp 1+e1−e{displaystyle r_{a}=r_{p}~{frac {1+e}{1-e}}}	ra{displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

a11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=0,{displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,} 

при инвариантах D>0{displaystyle D>0}

  и ΔI<0,{displaystyle Delta I<0,}  где:

Δ=|a11a12a13a12a22a23a13a23a33|,{displaystyle Delta ={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{12}&a_{22}&a_{23}a_{13}&a_{23}&a_{33}end{vmatrix}},} 

D=|a11a12a12a22|=a11a22−a122,{displaystyle D={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}a_{12}&a_{22}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2},} 

I=tr(a11a12a12a22)=a11+a22.{displaystyle I=tr{begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}a_{12}&a_{22}end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}.} 

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и a33=−1{displaystyle a_{33}=-1}

 ):

Δ=−1a21b2,{displaystyle Delta =-{frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}},} 

D=1a21b2,{displaystyle D={frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}},} 

I=1a2+1b2.{displaystyle I={frac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}.} 

Соотношения

Если переписать общее уравнение в виде

AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0,{displaystyle AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0,} 

то координаты центра эллипса:

h=BE−2CD4AC−B2,k=BD−2AE4AC−B2,{displaystyle h={frac {BE-2CD}{4AC-B^{2}}},k={frac {BD-2AE}{4AC-B^{2}}},} 

угол вращения определяется из выражения

tg(2Θ)=BA−C.{displaystyle tg(2Theta )={frac {B}{A-C}}.} 

Направления векторов осей:

(B(C−A+(C−A)2+B2)),(B(C−A−(C−A)2+B2)){displaystyle {begin{pmatrix}B&(C-A+{sqrt {(C-A)^{2}+B^{2}}})end{pmatrix}},{begin{pmatrix}B&(C-A-{sqrt {(C-A)^{2}+B^{2}}})end{pmatrix}}} 

отсюда

tg(Θ)=C−A±(C−A)2+B2B{displaystyle tg(Theta )={frac {C-Apm {sqrt {(C-A)^{2}+B^{2}}}}{B}}} 

Длины полуосей определяются выражениями

a=2F′((A−C)2+B2+A+C)4AC−B2{displaystyle a={sqrt {frac {2F'({sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}+A+C)}{4AC-B^{2}}}}} 

b=2F′(A−C)2+B2+A+C{displaystyle b={sqrt {frac {2F’}{{sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}+A+C}}}} 

Обратное соотношение — коэффициенты общего уравнения из параметров эллипса — можно получить, подставив в каноническое уравнение (см. раздел ниже) выражение для поворота системы координат на угол Θ и переноса в точку (xc,yc){displaystyle (x_{c},y_{c})}

 :

x′2a2+y′2b2=1{displaystyle {frac {x’^{2}}{a^{2}}}+{frac {y’^{2}}{b^{2}}}=1} 

x′=(x−xc)cosΘ+(y−yc)sinΘ{displaystyle x’=(x-x_{c})cosTheta +(y-y_{c})sinTheta } 

y′=−(x−xc)sinΘ+(y−yc)cosΘ{displaystyle y’=-(x-x_{c})sinTheta +(y-y_{c})cosTheta } 

Выполнив подстановку и раскрыв скобки, получим следующие выражения для коэффициентов общего уравнения:

A=a2(sinΘ)2+b2(cosΘ)2{displaystyle A=a^{2}(sinTheta )^{2}+b^{2}(cosTheta )^{2}} 

B=2(b2−a2)sinΘcosΘ{displaystyle B=2(b^{2}-a^{2})sinTheta cosTheta } 

C=a2(cosΘ)2+b2(sinΘ)2{displaystyle C=a^{2}(cosTheta )^{2}+b^{2}(sinTheta )^{2}} 

D=−2Axc−Byc{displaystyle D=-2Ax_{c}-By_{c}} 

E=−Bxc−2Cyc{displaystyle E=-Bx_{c}-2Cy_{c}} 

F=Axc2+Cyc2+Bxcyc−a2b2{displaystyle F=Ax_{c}^{2}+Cy_{c}^{2}+Bx_{c}y_{c}-a^{2}b^{2}} 

Если ввести только угол, а центр эллипса оставить в начале координат, то

D=0{displaystyle D=0} 

E=0{displaystyle E=0} 

F=−a2b2{displaystyle F=-a^{2}b^{2}} 

Следует заметить, что в уравнении общего вида эллипса, заданного в Декартовой системе координат, коэффициенты A,B,C,D,E,F{displaystyle A,B,C,D,E,F}

  (или, что то же самое, a11,2a12,a22,2a13,2a23,a33{displaystyle a_{11},2a_{12},a_{22},2a_{13},2a_{23},a_{33}} ) являются определёнными с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. приведённая выше запись и

AkX2+BkXY+CkY2+DkX+EkY+Fk=0{displaystyle AkX^{2}+BkXY+CkY^{2}+DkX+EkY+Fk=0} 

где k≠0{displaystyle kneq 0}

 , являются эквивалентными. Нельзя ожидать, что выражение

1/a2+1/b2=Ak+Ck{displaystyle 1/a^{2}+1/b^{2}=Ak+Ck} 

будет исполнено при любом k{displaystyle k}

 .

Соотношение между инвариантой I{displaystyle I}

  и полуосями в общем виде выглядит следующим образом:

1a2+1b2=A+CF⋅(A⋅h2+B⋅h⋅k+C⋅k2−1)=IF′{displaystyle {frac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}={frac {A+C}{Fcdot (Acdot h^{2}+Bcdot hcdot k+Ccdot k^{2}-1)}}={frac {I}{F’}}} 

где F′=F⋅(A⋅h2+B⋅h⋅k+C⋅k2−1){displaystyle F’=Fcdot (Acdot h^{2}+Bcdot hcdot k+Ccdot k^{2}-1)}

      — коэффициент F{displaystyle F}  при переносе начала координат в центр эллипса, когда уравнение приводится к виду

AX2+BXY+CY2+F′=0{displaystyle AX^{2}+BXY+CY^{2}+F’=0} 

Другие инварианты находятся в следующих соотношениях:

−ΔF′3=DF′2=1a21b2{displaystyle -{frac {Delta }{F’^{3}}}={frac {D}{F’^{2}}}={frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}}} 

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

x2a2+y2b2=1.{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} 

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.[1]

Соотношения

Для определённости положим, что 0<b⩽a.{displaystyle 0<bleqslant a.}

  В этом случае величины a{displaystyle a}  и b{displaystyle b}  — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

|F1F2|=2a2−b2,e=a2−b2a<1.{displaystyle left|F_{1}F_{2}right|=2{sqrt {a^{2}-b^{2}}},;;;e={frac {sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1.} 

Координаты фокусов эллипса:

(ae,0),(−ae,0).{displaystyle left(ae,,0right),;;;left(-ae,,0right).} 

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

x=ae,x=−ae.{displaystyle x={frac {a}{e}},;;;x=-{frac {a}{e}}.} 

Фокальный параметр (т. е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

p=b2a.{displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}.} 

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой (x,y):{displaystyle left(x,,yright):}

 

r1=a+ex,r2=a−ex.{displaystyle r_{1}=a+ex,;;;r_{2}=a-ex.} 

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k:{displaystyle k:}

 :

y=−b2a2kx.{displaystyle y=-{frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.} 

Уравнение касательной к эллипсу в точке (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})}

  имеет вид :{displaystyle :} 

xx0a2+yy0b2=1.{displaystyle {frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.} 

Условие касания прямой y=mx+k{displaystyle y=mx+k}

  и эллипса x2a2+y2b2=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}  записывается в виде соотношения :{displaystyle :}  k2=m2a2+b2{displaystyle k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}} 

Уравнение касательных, проходящих через точку (x1,y1):{displaystyle left(x_{1},y_{1}right):}

 

y−y1x−x1=−x1y1±b2x12+a2y12−a2b2a2−x12{displaystyle {frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={frac {-x_{1}y_{1}pm {sqrt {b^{2}x_{1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}}}} 

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент k{displaystyle k}

 :

y=kx±k2a2+b2;{displaystyle y=kxpm {sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}};} 

точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса где касательная имеет угол с тангенсом k{displaystyle k}

 ):

x=∓ka2k2a2+b2,y=±b2k2a2+b2.{displaystyle x=mp {frac {ka^{2}}{sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=pm {frac {b^{2}}{sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.} 

Уравнение нормали в точке (x1,y1):{displaystyle left(x_{1},y_{1}right):}

 

y−y1x−x1=a2y1b2x1.{displaystyle {frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.} 

Уравнения в параметрической форме

  Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

{x=acos⁡ty=bsin⁡t0⩽t⩽2π,{displaystyle {begin{cases}x=a,cos ty=b,sin tend{cases}};;;0leqslant tleqslant 2pi ,} 

где t{displaystyle t}

  — параметр.

Только в случае окружности (то есть при a=b{displaystyle a=b}

 ) параметр t{displaystyle t} является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах (ρ,φ){displaystyle left(rho ,varphi right)}

  будет иметь вид

ρ=p1±ecos⁡φ,{displaystyle rho ={frac {p}{1pm ecos varphi }},} 

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Вывод

Пусть r1 и r2 — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов.Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол φ{displaystyle varphi }

  отсчитывается от направления на второй фокус.Тогда, из определения эллипса,

r1+r2=2a.{displaystyle r_{1}+r_{2}=2a.} 

Отсюда,

r22=(2a−r1)2=4a2−4ar1+r12.{displaystyle r_{2}^{2}=left(2a-r_{1}right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2}.} 

С другой стороны, из теоремы косинусов

r22=r12+4c2−4r1ccos⁡φ.{displaystyle r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}ccos varphi .} 

Исключая r2{displaystyle r_{2}}

  из последних двух уравнений, получаем

r1=a2−c2a−ccos⁡φ.{displaystyle r_{1}={frac {a^{2}-c^{2}}{a-ccos varphi }}.} 

Учитывая, что

p=a(1−e2),{displaystyle p=a(1-e^{2}),} 

получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах (ρ,φ){displaystyle left(rho ,varphi right)}

  будет иметь вид

ρ=b1−e2cos2⁡φ=aba2sin2⁡φ+b2cos2⁡φ.{displaystyle rho ={frac {b}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}varphi }}}={frac {ab}{sqrt {a^{2}sin ^{2}varphi +b^{2}cos ^{2}varphi }}}.} 

  Длина дуги эллипса (s) в зависимости от его параметра (θ)

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

l=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt.{displaystyle l=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {left({frac {dx}{dt}}right)^{2}+left({frac {dy}{dt}}right)^{2}}},dt.} 

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:

l=∫t1t2a2sin2⁡t+b2cos2⁡tdt.{displaystyle l=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {a^{2}sin ^{2}t+b^{2}cos ^{2}t}},dt.} 

После замены b2=a2(1−e2){displaystyle b^{2}=a^{2}left(1-e^{2}right)}

  выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

l=a∫t1t21−e2cos2⁡tdt,e<1.{displaystyle l=aint limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}t}},dt,;;;e<1.} 

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода E(t,e){displaystyle Eleft(t,eright)}

 . В частности, периметр эллипса равен:

l=4a∫0π/21−e2cos2⁡tdt=4aE(e){displaystyle l=4aint limits _{0}^{pi /2}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}t}},dt=4aE(e)} ,

где E(e){displaystyle Eleft(eright)}

  — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

L≈4πab+(a−b)2a+b.{displaystyle Lapprox 4{frac {pi ab+(a-b)^{2}}{a+b}}.}

 

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

L≈4⋅(ax+bx)(1/x){displaystyle Lapprox 4cdot left(a^{x}+b^{x}right)^{left(1/xright)}}

 , где x=ln⁡2ln⁡π2.{displaystyle x={frac {ln 2}{ln {frac {pi }{2}}}}.} 

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при 0,05<a/b<20{displaystyle 0{,}05<a/b<20}

  обеспечивает формула Рамануджана:

L≈π[3(a+b)−(3a+b)(a+3b)].{displaystyle Lapprox pi left[3(a+b)-{sqrt {(3a+b)(a+3b)}}right].}

 

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:

L≈π(a+b)[1+3(a−ba+b)210+4−3(a−ba+b)2]{displaystyle Lapprox pi (a+b)left[1+{frac {3left({frac {a-b}{a+b}}right)^{2}}{10+{sqrt {4-3left({frac {a-b}{a+b}}right)^{2}}}}}right]}

 

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори[2] и Фридрих Бессель[3] независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

L=π(a+b)[1+∑n=1∞[(2n−1)!!(2n−1)⋅2n⋅n!(a−ba+b)n]2]{displaystyle L=pi (a+b)left[1+sum limits _{n=1}^{infty }left[{frac {(2n-1)!!}{(2n-1)cdot 2^{n}cdot n!}}left({frac {a-b}{a+b}}right)^{n}right]^{2}right]} 

Альтернативная формула

L=2πaN(1−e2)M(1−e2),{displaystyle L={frac {2pi aN(1-e^{2})}{M({sqrt {1-e^{2}}})}},} 

где M(x){displaystyle M(x)}

  — Арифметико-геометрическое среднее 1 и x{displaystyle x} ,а N(x){displaystyle N(x)}  — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и x{displaystyle x} , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.[4]

Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

S=πab.{displaystyle S=pi ab.} 

Площадь сегмента между дугой[en], выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки (x,y){displaystyle left(x,,yright)}

  и (x,−y):{displaystyle left(x,,-yright):} , можно определить по формуле[5]:

S=πab2−ba(xa2−x2+a2arcsin⁡xa).{displaystyle S={frac {pi ab}{2}}-{frac {b}{a}}left(x,{sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}arcsin {frac {x}{a}}right).} 

Если эллипс задан уравнениемAx2+Bxy+Cy2=1{displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}

 , то площадь можно определить по формуле

S=2π4AC−B2{displaystyle S={frac {2pi }{sqrt {4AC-B^{2}}}}} .

Построение эллипса

Эллипсограф в действии

Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

• эллипсограф;
• две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником

• Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара
• Эллипс Мандарта
• Эллипс Штейнера

Другие свойства

• Оптические
  • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
  • Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
• Если F1{displaystyle F_{1}}  и F2{displaystyle F_{2}}  — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X){displaystyle (F_{1}X)}  равен углу между этой касательной и прямой (F2X){displaystyle (F_{2}X)} .
• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса.
• Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
• Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
• Эксцентриситет эллипса, то есть отношение e=ca=1−b2a2(0⩽e<1),{displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}};;;(0leqslant e<1),}  характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: F1F2=0{displaystyle F_{1}F_{2}=0} ), то эллипс вырождается в окружность.
• Экстремальные свойства[6]
  • Если F{displaystyle F}  — выпуклая фигура и Tn{displaystyle T_{n}}  — вписанный в F{displaystyle F}  n{displaystyle n} -угольник максимальной площади, то

    S(Tn)≥S(F)⋅nsin⁡(2⋅π/n)2⋅π,{displaystyle S(T_{n})geq S(F)cdot {frac {n}{sin(2cdot pi /n)}}{2cdot pi },} 

где S(F){displaystyle S(F)}  обозначает площадь фигуры F{displaystyle F} .

• Более того: равенство достигается в том и только в том случае, если F{displaystyle F}  ограничено эллипсом.

• Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину.

• Если произвольный эллипс вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение[7]

PA¯⋅QA¯CA¯⋅AB¯+PB¯⋅QB¯AB¯⋅BC¯+PC¯⋅QC¯BC¯⋅CA¯=1.{displaystyle {frac {{overline {PA}}cdot {overline {QA}}}{{overline {CA}}cdot {overline {AB}}}}+{frac {{overline {PB}}cdot {overline {QB}}}{{overline {AB}}cdot {overline {BC}}}}+{frac {{overline {PC}}cdot {overline {QC}}}{{overline {BC}}cdot {overline {CA}}}}=1.} 

• Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше[⇦] эллипсографе.

• Касательная, проходящая через точку (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} , принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

xx0a2+yy0b2=1.{displaystyle {frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.} 

См. также

Эллипс:

•  Значения в Викисловаре
•  Медиафайлы на Викискладе

• Кривая второго порядка
• Парабола
• Каустика
• Эллипсоид
• Эллипсограф
• Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола,
• постоянного отношения — окружность Аполлония,
• постоянного произведения — овал Кассини.

Примечания

1. ↑ Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:

   x2a2+y2b2=−1.{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1.} 

   описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.

2. ↑ Ivory, J. A new series for the rectification of the ellipsis (неопр.) // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1798. — Т. 4. — С. 177—190. — doi:10.1017/s0080456800030817.
3. ↑ Bessel, F. W. The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825) (англ.) // Astron. Nachr. : journal. — 2010. — Vol. 331. — P. 852—861. — doi:10.1002/asna.201011352. — arXiv:0908.1824. Englisch translation of Bessel, F. W. Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (нем.) // Astron. Nachr. : magazin. — 1825. — Bd. 4. — S. 241—254. — doi:10.1002/asna.18260041601. — Bibcode: 1825AN……4..241B.
4. ↑ Adlaj, Semjon (September 2012), An eloquent formula for the perimeter of an ellipse, Notices of the AMS Т. 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477, doi:10.1090/noti879, <http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf> 
5. ↑ Корн, 1978, с. 68.
6. ↑ Фейеш Тот Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве//М., Физматгиз, 1958. 364 с.; глава II, § 4,6
7. ↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96, March 2012, 161—165.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.
• Селиванов Д. Ф. Эллипс // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
• А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.

Ссылки

• S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae
• Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers), 2000—2005. — 20 c.
• Видео: Как нарисовать эллипс