Прямая

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Прямая (значения).

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий геометрии.

Изображение прямых в прямоугольной системе координат.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Согласно примеру Д. Гильберта («точкой можно назвать хоть стул»), может обозначать достаточно произвольные объекты, даже изображение которых будет зависеть от выбранной аксиоматики и/или модели геометрии. Например, в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского прямыми являются полуокружности.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен кратчайшему расстоянию между двумя точками.

Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

В современной аксиоматике евклидовой геометрии прямая является первичным понятием, задаваемым лишь перечнем его свойств — аксиомами.

Содержание

1 Свойства прямой в евклидовой геометрии
2 Уравнения прямой на плоскости
3 Уравнения прямой в пространстве
4 Взаимное расположение точек и прямых на плоскости
5 Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
6 См. также
7 Примечания
8 Ссылки

Свойства прямой в евклидовой геометрии

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
y=kx+b,xa+yb=1{displaystyle scriptstyle {y=kx+b,;{frac {x}{a}}+{frac {y}{b}}=1}} $scriptstyle {y=kx+b,;{frac {x}{a}}+{frac {y}{b}}=1}$ или xcos⁡θ+ysin⁡θ−p=0{displaystyle scriptstyle {xcos theta +ysin theta -p=0}} $scriptstyle {xcos theta +ysin theta -p=0}$ .

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Ax+By+C=0,{displaystyle Ax+By+C=0,}

Ax+By+C=0,

где A,B{displaystyle A,B}

$A,B$ и C{displaystyle C} $C$ — произвольные постоянные, причём постоянные A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ не равны нулю одновременно.

При A=0{displaystyle A=0}

$A=0$ прямая параллельна оси Ox{displaystyle Ox} $Ox$ , при B=0{displaystyle B=0} $B=0$ — параллельна оси Oy{displaystyle Oy} $Oy$ .

Вектор с координатами (A,B){displaystyle (A,B)}

$(A,B)$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При C=0{displaystyle C=0}

$C=0$ прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

A(x−x0)+B(y−y0)=0.{displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось Oy{displaystyle Oy}

$Oy$ в точке (0,b){displaystyle (0,;b)} $(0,;b)$ и образующей угол φ{displaystyle varphi } $varphi$ с положительным направлением оси Ox{displaystyle Ox} $Ox$ :

y=kx+b,k=tgφ.{displaystyle y=kx+b,quad k=mathrm {tg} ,varphi .}

y=kx+b,quad k={mathrm {tg}},varphi .

Коэффициент k{displaystyle k}

$k$ называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.{displaystyle Oy.}

$Oy.$ (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».) Получение уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось Ox{displaystyle Ox}

$Ox$ в точке (a,0){displaystyle (a,;0)} $(a,;0)$ и ось Oy{displaystyle Oy} $Oy$ в точке (0,b){displaystyle (0,;b)} $(0,;b)$ :

xa+yb=1(a≠0,b≠0).{displaystyle {frac {x}{a}}+{frac {y}{b}}=1quad (aneq 0,;bneq 0).}

{frac {x}{a}}+{frac {y}{b}}=1quad (aneq 0,;bneq 0).

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

xcos⁡θ+ysin⁡θ−p=0,{displaystyle xcos theta +ysin theta -p=0,}

{displaystyle xcos theta +ysin theta -p=0,}

где p{displaystyle p}

$p$ — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а θ{displaystyle theta } $theta$ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси Ox{displaystyle Ox} $Ox$ и направлением этого перпендикуляра. Если p=0{displaystyle p=0} $p=0$ , то прямая проходит через начало координат, а угол θ=φ+π2{displaystyle theta =varphi +{frac {pi }{2}}} $theta =varphi +{frac {pi }{2}}$ задаёт угол наклона прямой.Вывод нормального уравнения прямой

Пусть дана прямая L.{displaystyle L.}

Если прямая задана общим уравнением Ax+By+C=0,{displaystyle Ax+By+C=0,}

$Ax+By+C=0,$ то отрезки a{displaystyle a} $a$ и b,{displaystyle b,} $b,$ отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент k,{displaystyle k,} $k,$ расстояние прямой от начала координат p,{displaystyle p,} $p,$ cos⁡θ{displaystyle cos theta } $cos theta$ и sin⁡θ{displaystyle sin theta } $sin theta$ выражаются через коэффициенты A{displaystyle A} $A$ , B{displaystyle B} $B$ и C{displaystyle C} $C$ следующим образом:

a=−CA,b=−CB,k=tgφ=−AB,φ=θ−π2,{displaystyle a=-{frac {C}{A}},quad b=-{frac {C}{B}},quad k=mathrm {tg} ,varphi =-{frac {A}{B}},quad varphi =theta -{frac {pi }{2}},}

a=-{frac {C}{A}},quad b=-{frac {C}{B}},quad k={mathrm {tg}},varphi =-{frac {A}{B}},quad varphi =theta -{frac {pi }{2}},

p=C±A2+B2,cos⁡θ=A±A2+B2,sin⁡θ=B±A2+B2.{displaystyle p={frac {C}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},quad cos theta ={frac {A}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},quad sin theta ={frac {B}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}

p={frac {C}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},quad cos theta ={frac {A}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},quad sin theta ={frac {B}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие p>0.{displaystyle p>0.}

$p>0.$ В этом случае cos⁡θ{displaystyle cos theta } $cos theta$ и sin⁡θ{displaystyle sin theta } $sin theta$ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если C=0,{displaystyle C=0,} $C=0,$ то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если заданы две несовпадающие точки с координатами (x1,y1){displaystyle (x_{1},;y_{1})}

$(x_1,;y_1)$ и (x2,y2){displaystyle (x_{2},;y_{2})} $(x_2,;y_2)$ , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

|xy1x1y11x2y21|=0{displaystyle {begin{vmatrix}x&y&1x_{1}&y_{1}&1x_{2}&y_{2}&1end{vmatrix}}=0}

{begin{vmatrix}x&y&1x_{1}&y_{1}&1x_{2}&y_{2}&1end{vmatrix}}=0

или

y−y1y2−y1=x−x1x2−x1{displaystyle {frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

{frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

или в общем виде

(y1−y2)x+(x2−x1)y+(x1y2−x2y1)=0.{displaystyle left(y_{1}-y_{2}right)x+left(x_{2}-x_{1}right)y+left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}right)=0.}

left(y_{1}-y_{2}right)x+left(x_{2}-x_{1}right)y+left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}right)=0.

Получение векторного параметрического уравнения прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором r→0,{displaystyle {vec {r}}_{0},}

${vec {r}}_{0},$ конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой u→.{displaystyle {vec {u}}.} ${vec {u}}.$ Параметр t{displaystyle t} $t$ пробегает все действительные значения.

r→=r0→+tu→.{displaystyle {vec {r}}={vec {r_{0}}}+t{vec {u}}.}

{vec {r}}={vec {r_{0}}}+t{vec {u}}.

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

{x=x0+axt,y=y0+ayt,{displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,y=y_{0}+a_{y}t,end{cases}}}

{begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,y=y_{0}+a_{y}t,end{cases}}

где t{displaystyle t}

$t$ — произвольный параметр, ax,ay{displaystyle a_{x},;a_{y}} $a_{x},;a_{y}$ — координаты x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ направляющего вектора прямой. При этом

k=ayax,a=ayx0−axy0ay,b=axy0−ayx0ax,{displaystyle k={frac {a_{y}}{a_{x}}},quad a={frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},quad b={frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},}

k={frac {a_{y}}{a_{x}}},quad a={frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},quad b={frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},

p=axy0−ayx0±ax2+ay2,cos⁡θ=ax±ax2+ay2,sin⁡θ=ay±ax2+ay2.{displaystyle p={frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{pm {sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},quad cos theta ={frac {a_{x}}{pm {sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},quad sin theta ={frac {a_{y}}{pm {sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.}

p={frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{pm {sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},quad cos theta ={frac {a_{x}}{pm {sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},quad sin theta ={frac {a_{y}}{pm {sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.

Смысл параметра t{displaystyle t}

$t$ аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод

{x=x0+axty=y0+ayt{displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+a_{x}ty=y_{0}+a_{y}tend{cases}}}

{begin{cases}x=x_{0}+a_{x}ty=y_{0}+a_{y}tend{cases}}

{x−x0=axty−y0=ayt{displaystyle {begin{cases}x-x_{0}=a_{x}ty-y_{0}=a_{y}tend{cases}}}

{begin{cases}x-x_{0}=a_{x}ty-y_{0}=a_{y}tend{cases}}

x−x0y−y0=axay{displaystyle {frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={frac {a_{x}}{a_{y}}}}

{frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={frac {a_{x}}{a_{y}}}

x−x0y−y0=axay⟺x−x0ax=y−y0ay{displaystyle {frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={frac {a_{x}}{a_{y}}}Longleftrightarrow {frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={frac {y-y_{0}}{a_{y}}}}

{frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={frac {a_{x}}{a_{y}}}Longleftrightarrow {frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={frac {y-y_{0}}{a_{y}}}

где ax,ay{displaystyle a_{x},a_{y}}

${displaystyle a_{x},a_{y}}$ — координаты x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ направляющего вектора прямой, x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ и y0{displaystyle y_{0}} $y_0$ координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах ρ{displaystyle rho }

$rho$ и φ{displaystyle varphi } $varphi$ :

ρ(Acos⁡φ+Bsin⁡φ)+C=0{displaystyle rho (Acos varphi +Bsin varphi )+C=0}

rho (Acos varphi +Bsin varphi )+C=0

или

ρcos⁡(φ−θ)=p.{displaystyle rho cos(varphi -theta )=p.}

{displaystyle rho cos(varphi -theta )=p.}

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

ξx+ηy=1.{displaystyle xi x+eta y=1.}

xi x+eta y=1.

Числа ξ{displaystyle xi }

$xi$ и η{displaystyle eta } $eta$ называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

r→=r→0+ta→,t∈(−∞,+∞),{displaystyle {vec {r}}={vec {r}}_{0}+t{vec {a}},quad tin (-infty ,;+infty ),}

{vec r}={vec {r}}_{0}+t{vec a},quad tin (-infty ,;+infty ),

где r→0{displaystyle {vec {r}}_{0}}

${vec {r}}_{0}$ — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M0,{displaystyle M_{0},} $M_{0},$ лежащей на прямой, a→{displaystyle {vec {a}}} $vec a$ — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), r→{displaystyle {vec {r}}} ${vec {r}}$ — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

x=x0+tα,y=y0+tβ,z=z0+tγ,t∈(−∞,+∞),{displaystyle x=x_{0}+talpha ,;y=y_{0}+tbeta ,;z=z_{0}+tgamma ,quad tin (-infty ,;+infty ),}

x=x_{0}+talpha ,;y=y_{0}+tbeta ,;z=z_{0}+tgamma ,quad tin (-infty ,;+infty ),

где (x0,y0,z0){displaystyle (x_{0},;y_{0},;z_{0})}

$(x_{0},;y_{0},;z_{0})$ — координатынекоторой фиксированной точки M0,{displaystyle M_{0},} $M_{0},$ лежащей на прямой; (α,β,γ){displaystyle (alpha ,;beta ,;gamma )} $(alpha ,;beta ,;gamma )$ — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

x−x0α=y−y0β=z−z0γ,{displaystyle {frac {x-x_{0}}{alpha }}={frac {y-y_{0}}{beta }}={frac {z-z_{0}}{gamma }},}

{frac {x-x_{0}}{alpha }}={frac {y-y_{0}}{beta }}={frac {z-z_{0}}{gamma }},

где (x0,y0,z0){displaystyle (x_{0},;y_{0},;z_{0})}

Общее векторное уравнение прямойa:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}]]>[уточнить] в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

(r→,N→1)+D1=0{displaystyle ({vec {r}},;{vec {N}}_{1})+D_{1}=0}

({vec r},;{vec N}_{1})+D_{1}=0

и (r→,N→2)+D2=0,{displaystyle ({vec {r}},;{vec {N}}_{2})+D_{2}=0,}

({vec r},;{vec N}_{2})+D_{2}=0,

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

{(r→,N→1)+D1=0,(r→,N→2)+D2=0.{displaystyle {begin{cases}({vec {r}},;{vec {N}}_{1})+D_{1}=0,({vec {r}},;{vec {N}}_{2})+D_{2}=0.end{cases}}}

{begin{cases}({vec r},;{vec N}_{1})+D_{1}=0,({vec r},;{vec N}_{2})+D_{2}=0.end{cases}}

Векторное уравнение прямой в пространстве[1]:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой r→{displaystyle {vec {r}}}

{vec {r}}

на фиксированный направляющий вектор прямой a→{displaystyle {vec {a}}}

vec a

[r→,a→]=M→,{displaystyle [{vec {r}},{vec {a}}]={vec {M}},}

[{vec r},{vec a}]={vec M},

где фиксированный вектор M→{displaystyle {vec {M}}}

$vec M$ , ортогональный вектору a→{displaystyle {vec {a}}} $vec a$ , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки (x1,y1){displaystyle (x_{1},;y_{1})}

$(x_1,;y_1)$ , (x2,y2){displaystyle (x_{2},;y_{2})} $(x_2,;y_2)$ и (x3,y3){displaystyle (x_{3},;y_{3})} $(x_{3},;y_{3})$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

|x1y11x2y21x3y31|=0.{displaystyle {begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1x_{2}&y_{2}&1x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}=0.}

{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1x_{2}&y_{2}&1x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}=0.

Отклонение точки (x1,y1){displaystyle (x_{1},;y_{1})}

$(x_1,;y_1)$ от прямой Ax+By+C=0{displaystyle Ax+By+C=0} $Ax+By+C=0$ может быть найдено по формуле

δ=Ax1+By1+C±A2+B2,{displaystyle delta ={frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},}

delta ={frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{pm {sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},

где знак перед радикалом противоположен знаку C.{displaystyle C.}

$C.$ Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки (x1,y1,z1){displaystyle (x_{1},;y_{1},;z_{1})}

$(x_{1},;y_{1},;z_{1})$ до прямой, заданной параметрическим уравнением

{x=x0+tα,y=y0+tβ,t∈Rz=z0+tγ,{displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+talpha ,y=y_{0}+tbeta ,quad tin mathbb {R} z=z_{0}+tgamma ,end{cases}}}

{begin{cases}x=x_{0}+talpha ,y=y_{0}+tbeta ,quad tin mathbb{R} z=z_{0}+tgamma ,end{cases}}

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t{displaystyle t}

$t$ этой точки может быть найден по формуле

tmin=α(x1−x0)+β(y1−y0)+γ(z1−z0)α2+β2+γ2.{displaystyle t_{min }={frac {alpha (x_{1}-x_{0})+beta (y_{1}-y_{0})+gamma (z_{1}-z_{0})}{alpha ^{2}+beta ^{2}+gamma ^{2}}}.}

t_{min }={frac {alpha (x_{1}-x_{0})+beta (y_{1}-y_{0})+gamma (z_{1}-z_{0})}{alpha ^{2}+beta ^{2}+gamma ^{2}}}.

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0{displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0

или

y=k1x+b1,y=k2x+b2{displaystyle y=k_{1}x+b_{1},quad y=k_{2}x+b_{2}}

y=k_{1}x+b_{1},quad y=k_{2}x+b_{2}

пересекаются в точке

x=B1C2−B2C1A1B2−A2B1=b1−b2k2−k1,y=C1A2−C2A1A1B2−A2B1=k2b1−k1b2k2−k1.{displaystyle x={frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},quad y={frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.}

x={frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},quad y={frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.

Угол γ12{displaystyle gamma _{12}}

$gamma _{{12}}$ между пересекающимися прямыми определяется формулой

tgγ12=A1B2−A2B1A1A2+B1B2=k2−k11+k1k2.{displaystyle mathrm {tg} ,gamma _{12}={frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}

{mathrm {tg}},gamma _{{12}}={frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.

При этом под γ12{displaystyle gamma _{12}}

$gamma _{{12}}$ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A1{displaystyle A_{1}} $A_{1}$ , B1{displaystyle B_{1}} $B_1$ , C1{displaystyle C_{1}} $C_{1}$ , k1{displaystyle k_{1}} $k_{1}$ и b1{displaystyle b_{1}} $b_{1}$ ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если A1B2−A2B1=0{displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0}

$A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ или k1=k2{displaystyle k_{1}=k_{2}} $k_{1}=k_{2}$ , и перпендикулярны, если A1A2+B1B2=0{displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0} $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ или k1=−1k2{displaystyle k_{1}=-{frac {1}{k_{2}}}} $k_{1}=-{frac {1}{k_{2}}}$ .

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением A1x+B1y+C1=0,{displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ можно выразить уравнением A1x+B1y+C=0.{displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C=0.} $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$ При этом расстояние между этими прямыми будет равно

δ=C1−C±A12+B12;{displaystyle delta ={frac {C_{1}-C}{pm {sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}};}

delta=frac{C_1-C}{pmsqrt{A_1^2+B_1^2}};

Если же уравнение прямой задано как y1=kx1+b1{displaystyle y_{1}=kx_{1}+b_{1}}

$y_1=kx_1+b_1$ , а уравнение прямой параллельной ей y=kx+b{displaystyle y=kx+b} $y=kx+b$ , то расстояние можно вычислить, как

δ=|b1−b|1+k2.{displaystyle delta ={frac {|b_{1}-b|}{sqrt {1+k^{2}}}}.}

delta=frac{|b_1-b|}{sqrt{1+k^2}}.

Если знак перед радикалом противоположен C1,{displaystyle C_{1},}

$C_{1},$ то δ{displaystyle delta } $delta$ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,A3x+B3y+C3=0{displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0}

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

|A1B1C1A2B2C2A3B3C3|=0.{displaystyle {begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}A_{2}&B_{2}&C_{2}A_{3}&B_{3}&C_{3}end{vmatrix}}=0.}

{begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}A_{2}&B_{2}&C_{2}A_{3}&B_{3}&C_{3}end{vmatrix}}=0.

Если A2=−B1{displaystyle A_{2}=-B_{1}}

${displaystyle A_{2}=-B_{1}}$ и B2=A1{displaystyle B_{2}=A_{1}} ${displaystyle B_{2}=A_{1}}$ , то прямые A1x+B1y+C1=0{displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0} ${displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$ и A2x+B2y+C2=0{displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0} ${displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$ перпендикулярны.