Подобие

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения).

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A{displaystyle A} $A$ , B{displaystyle B} $B$ и их образов A′{displaystyle A’} $A'$ , B′{displaystyle B’} $B'$ имеет место соотношение |A′B′|=k|AB|{displaystyle |A’B’|=k|AB|} $|A'B'|=k|AB|$ ,где k{displaystyle k} $k$ — не равное нулю число, называемое коэффициентом подобия.

Содержание

1 Открытие
2 Примеры
3 Связанные определения
4 Свойства
5 Обобщения
6 Обозначение
7 См. также
8 Ссылки

Открытие

Учение о подобии фигур было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида.

Примеры

Каждая гомотетия является подобием.
Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k=1{displaystyle k=1} $k=1$ .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.

Связанные определения

Фигура F{displaystyle F} называется подобной фигуре F′{displaystyle F’} , если существует преобразование подобия, при котором F→F′{displaystyle Fto F’} .
- Подобие фигур является отношением эквивалентности.

Свойства

Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка B{displaystyle B} $B$ лежит между точками A{displaystyle A} $A$ , C{displaystyle C} $C$ и B′{displaystyle B’} $B'$ , A′{displaystyle A’} $A'$ , C′{displaystyle C’} $C'$ — соответствующие их образы при некотором подобии, то B′{displaystyle B’} $B'$ также лежит между точками A′{displaystyle A’} $A'$ и C′{displaystyle C’} $C'$ .
Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
При подобии угол сохраняет величину.
Подобие с коэффициентом k≠1{displaystyle knot =1} , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом k{displaystyle k} или −k{displaystyle -k} .
- Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения D{displaystyle D} $D$ и некоторой гомотетии Γ{displaystyle Gamma } $Gamma$ с положительным коэффициентом.
- Подобие называется собственным (несобственным), если движение D{displaystyle D} $D$ является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
Два треугольника являются подобными, если
- их соответственные углы равны, или
- стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в n{displaystyle n}

$n$ -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r{displaystyle r}

$r$ -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных(гомотетических) преобразований соответствующего пространства.В каждом из пространствуказанных типов r{displaystyle r} $r$ -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r−1){displaystyle (r-1)} $(r-1)$ -членнуюнормальную подгруппу движений.

Обозначение

Для обозначения подобия используется значок ~.

См. также

Ссылки

Равенство и подобие геометрических фигур