wiki

Подобие

У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения).

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A{displaystyle A}, B{displaystyle B} и их образов A′{displaystyle A’}, B′{displaystyle B’} имеет место соотношение |A′B′|=k|AB|{displaystyle |A’B’|=k|AB|},где k{displaystyle k} — не равное нулю число, называемое коэффициентом подобия.

Содержание

Открытие

Учение о  подобии фигур было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида.

Примеры

  • Каждая гомотетия является подобием.
  • Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k=1{displaystyle k=1} .

  Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

  • Фигура F{displaystyle F}  называется подобной фигуре F′{displaystyle F’} , если существует преобразование подобия, при котором F→F′{displaystyle Fto F’} .

Свойства

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка B{displaystyle B}  лежит между точками A{displaystyle A} , C{displaystyle C}  и B′{displaystyle B’} , A′{displaystyle A’} , C′{displaystyle C’}  — соответствующие их образы при некотором подобии, то B′{displaystyle B’}  также лежит между точками A′{displaystyle A’}  и C′{displaystyle C’} .
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • При подобии угол сохраняет величину.
  • Подобие с коэффициентом k≠1{displaystyle knot =1} , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом k{displaystyle k}  или −k{displaystyle -k} .
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения D{displaystyle D}  и некоторой гомотетии Γ{displaystyle Gamma }  с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение D{displaystyle D}  является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в n{displaystyle n}

 -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r{displaystyle r}

 -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных(гомотетических) преобразований соответствующего пространства.В каждом из пространствуказанных типов r{displaystyle r} -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r−1){displaystyle (r-1)} -членнуюнормальную подгруппу движений.

Обозначение

Для обозначения подобия используется значок ~.

См. также

Ссылки

Читайте также