wiki

Кватернион

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел.Обычно обозначаются символом H{displaystyle mathbb {H} }. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике.Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.[1]

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[2].

Содержание

Определения

Стандартное

Кватернионы можно определить как сумму

q=a+bi+cj+dk{displaystyle q=a+bi+cj+dk} 

где a,b,c,d{displaystyle a,b,c,d}

  — вещественные числа

i,j,k{displaystyle i,j,k}  — мнимые единицы со следующим свойством: i2=j2=k2=ijk=−1{displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1} , при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): ij=k{displaystyle ij=k} , a ji=−k{displaystyle ji=-k} .

Таблица умножения базисных кватернионов — 1,i,j,k{displaystyle 1,i,j,k}

  — выглядит так:

×1ijk11ijkii−1k−jjj−k−1ikkj−i−1{displaystyle {begin{matrix}&times &mathbf {1} &mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} &mathbf {1} &,1&,i&,j&,k&mathbf {i} &,i&,-1&,k&,-j&mathbf {j} &,j&,-k&,-1&,i&mathbf {k} &,k&,j&,-i&,-1end{matrix}}}

 

Как вектор и скаляр

Кватернион представляет собой пару (a,u→),{displaystyle left(a,{vec {u}}right),}

  где u→{displaystyle {vec {u}}}  — вектор трёхмерного пространства, а a{displaystyle a}  — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

(a,u→)+(b,v→)=(a+b,u→+v→){displaystyle left(a,{vec {u}}right)+left(b,{vec {v}}right)=left(a+b,{vec {u}}+{vec {v}}right)} 

Произведение определяется следующим образом:

(a,u→)(b,v→)=(ab−u→⋅v→,av→+bu→+u→×v→){displaystyle left(a,{vec {u}}right)left(b,{vec {v}}right)=left(ab-{vec {u}}cdot {vec {v}},a{vec {v}}+b{vec {u}}+{vec {u}}times {vec {v}}right)} 

где ⋅{displaystyle cdot }

  обозначает скалярное произведение, а ×{displaystyle times }  — векторное произведение.

В частности,

(a,0)(0,v→)=(0,v→)(a,0)=(0,av→){displaystyle left(a,0right)left(0,{vec {v}}right)=left(0,{vec {v}}right)left(a,0right)=left(0,a{vec {v}}right)} 
(a,0)(b,0)=(ab,0){displaystyle left(a,0right)left(b,0right)=left(ab,0right)} 
(0,u→)(0,v→)=(−u→⋅v→,u→×v→){displaystyle left(0,{vec {u}}right)left(0,{vec {v}}right)=left(-{vec {u}}cdot {vec {v}},{vec {u}}times {vec {v}}right)} 

Заметим, что:

Через комплексные числа

Основная статья: Процедура Кэли — Диксона

Произвольный кватернион  q=a+bi+cj+dk{displaystyle q=a+bi+cj+dk}

  можно представить как пару комплексных чисел в виде

 q=(a+bi)+(c+di)j{displaystyle q=(a+bi)+(c+di)j} 

или эквивалентно

 q=z1+z2j,z1=a+bi,z2=c+di,{displaystyle q=z_{1}+z_{2}j,quad z_{1}=a+bi,quad z_{2}=c+di,} 

где  z1,z2{displaystyle z_{1},z_{2}}

  — комплексные числа, поскольку  i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}  выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а k=ij{displaystyle k=ij} .

Через матричные представления

Вещественными матрицами

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

(a−b−c−dba−dccda−bd−cba).{displaystyle {begin{pmatrix}a&-b&-c&-db&;;a&-d&;;cc&;;d&;;a&-bd&-c&;;b&;;aend{pmatrix}}.} 

При такой записи:

  • сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
    q¯↦QT{displaystyle {bar {q}}mapsto Q^{T}} ;
  • четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
    |q|4=detQ{displaystyle left|qright|^{4}=det Q} .

Комплексными матрицами

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

(αβ−β¯α¯)=(a+bic+di−c+dia−bi),{displaystyle {begin{pmatrix};;alpha &beta -{bar {beta }}&{bar {alpha }}end{pmatrix}}={begin{pmatrix};;a+bi&c+di-c+di&a-biend{pmatrix}},} 

здесь α¯{displaystyle {bar {alpha }}}

  и β¯{displaystyle {bar {beta }}}  обозначают комплексно-сопряжённые числа к α{displaystyle alpha }  и β{displaystyle beta } .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

  • комплексному числу соответствует диагональная матрица;
  • сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
    q¯↦Q¯T{displaystyle {bar {q}}mapsto {bar {Q}}^{T}} ;
  • квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:
    |q|2=detQ{displaystyle left|qright|^{2}=det Q} .

Связанные объекты и операции

Для кватерниона

q=a+bi+cj+dk{displaystyle q=a+bi+cj+dk} 

кватернион a{displaystyle a}

  называется скалярной частью q,{displaystyle q,}  а кватернион u=bi+cj+dk{displaystyle u=bi+cj+dk}  — векторной частью. Если u=0,{displaystyle u=0,}  то кватернион называется чисто скалярным, а при a=0{displaystyle a=0}  — чисто векторным.

Сопряжение

Для кватерниона q{displaystyle q}

  сопряжённым называется:

q¯=a−bi−cj−dk{displaystyle {bar {q}}=a-bi-cj-dk} 

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

pq¯=q¯p¯{displaystyle {overline {pq}}={bar {q}}{bar {p}}} 

Для кватернионов справедливо равенство

p¯=−12(p+ipi+jpj+kpk){displaystyle {overline {p}}=-{frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk)} 

Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

|q|=qq¯=a2+b2+c2+d2{displaystyle left|qright|={sqrt {q{bar {q}}}}={sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}} 

называется модулем q{displaystyle q}

 . Если |q|=1,{displaystyle left|qright|=1,}  то q{displaystyle q}  называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: ‖z‖=|z|{displaystyle left|zright|=left|zright|}

 .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}

  с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуютбанахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что |p⋅q|=|p|⋅|q|,{displaystyle left|pcdot qright|=left|pright|cdot left|qright|,}

  иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение умножения (деление)

Кватернион, обратный по умножению к q{displaystyle q}

 , вычисляется так:q−1=q¯|q|2{displaystyle q^{-1}={frac {bar {q}}{left|qright|^{2}}}} .

Алгебраические свойства

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножениюгруппу кватернионов (порядка 8).Обозначается:

Q8={±1,±i,±j,±k}{displaystyle Q_{8}=left{pm 1,pm i,pm j,pm kright}} .

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делениемнад полем вещественных (но не комплексных) чисел. ВообщеR{displaystyle mathbb {R} }

 , C{displaystyle mathbb {C} } , H{displaystyle mathbb {H} } являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делениемнад полем вещественных чисел[3].

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям.Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения.В частности, уравнение q2+1=0{displaystyle q^{2}+1=0}

 имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Кватернионы и повороты пространства

Основная статья: Кватернионы и вращение пространства  Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над R{displaystyle scriptstyle mathbb {R} }

 , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно 0{displaystyle 0}  может быть записан в виде q↦ξqζ{displaystyle qmapsto xi qzeta } , где ξ{displaystyle xi }  и ζ{displaystyle zeta }  — пара единичных кватернионов, при этом пара (ξ,ζ){displaystyle left(xi ,zeta right)}  определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — (ξ,ζ){displaystyle left(xi ,zeta right)}  и (−ξ,−ζ){displaystyle left(-xi ,-zeta right)} . Из этого следует, что группа Ли SO(R,4){displaystyle {text{SO}}left(mathbb {R} ,4right)}  поворотов R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}  есть факторгруппа S3×S3/Z2{displaystyle S^{3}times S^{3}/mathbb {Z} _{2}} , где S3{displaystyle S^{3}}  обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно 0{displaystyle 0}

  может быть записан в виде u↦ξuξ¯{displaystyle umapsto xi u{bar {xi }}} , где ξ{displaystyle xi }  — некоторый единичный кватернион. Соответственно, SO(R,3)=S3/Z2{displaystyle {text{SO}}left(mathbb {R} ,3right)=S^{3}/mathbb {Z} _{2}} , в частности, SO(R,3){displaystyle {text{SO}}left(mathbb {R} ,3right)}  диффеоморфно RP3{displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{3}} .

«Целые» кватернионы

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: ‖z‖=|z|2{displaystyle left|zright|=left|zright|^{2}}

 .

Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы a+bi+cj+dk{displaystyle a+bi+cj+dk}

  такие, что все 2a,2b,2c,2d{displaystyle 2a,2b,2c,2d}  — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

  • чётным
  • нечётным
  • простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме 1{displaystyle 1}

 , нацело (иными словами, gcd(2a,2b,2c,2d)≤2{displaystyle gcd left(2a,2b,2c,2dright)leq 2} ).

Целые единичные кватернионы

Существует 24 целых единичных кватерниона:

±1{displaystyle pm 1} ; ±i{displaystyle pm i} ; ±j{displaystyle pm j} ; ±k{displaystyle pm k} ; ±1±i±j±k2{displaystyle {frac {pm 1pm ipm jpm k}{2}}} .

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4х-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3х-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.[4]Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона N(q){displaystyle N(q)}

  в произведение простых целых положительных чиселN(q)=p1p2…pn{displaystyle N(q)=p_{1}p_{2}…p_{n}}  существует разложение кватерниона q{displaystyle q}  в произведение простых кватернионов q=q1q2…qn{displaystyle q=q_{1}q_{2}…q_{n}}  такое, что N(qi)=pi{displaystyle N(q_{i})=p_{i}} .Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

q=(q1ϵ1)(ϵ¯1q2ϵ2)(ϵ¯2q3ϵ3)…(ϵ¯n−1qn){displaystyle q=left(q_{1}epsilon _{1}right)left({bar {epsilon }}_{1}q_{2}epsilon _{2}right)left({bar {epsilon }}_{2}q_{3}epsilon _{3}right)…left({bar {epsilon }}_{n-1}q_{n}right)} ,

где ϵ1{displaystyle epsilon _{1}}

 , ϵ2{displaystyle epsilon _{2}} , ϵ3{displaystyle epsilon _{3}} , … ϵn−1{displaystyle epsilon _{n-1}}  — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион q=(1+i)2(1+i+j)(2+i){displaystyle q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)}

  имеет норму 60,значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

60=2⋅2⋅3⋅560=2⋅2⋅5⋅360=2⋅3⋅2⋅560=2⋅5⋅2⋅360=2⋅3⋅5⋅260=2⋅5⋅3⋅2{displaystyle 60=2cdot 2cdot 3cdot 5quad 60=2cdot 2cdot 5cdot 3quad 60=2cdot 3cdot 2cdot 5quad 60=2cdot 5cdot 2cdot 3quad 60=2cdot 3cdot 5cdot 2quad 60=2cdot 5cdot 3cdot 2}

 

60=3⋅2⋅2⋅560=5⋅2⋅2⋅360=3⋅2⋅5⋅260=5⋅2⋅3⋅260=3⋅5⋅2⋅260=5⋅3⋅2⋅2{displaystyle 60=3cdot 2cdot 2cdot 5quad 60=5cdot 2cdot 2cdot 3quad 60=3cdot 2cdot 5cdot 2quad 60=5cdot 2cdot 3cdot 2quad 60=3cdot 5cdot 2cdot 2quad 60=5cdot 3cdot 2cdot 2}

 

Общее число разложений такого кватерниона равно 243⋅12=165888{displaystyle 24^{3}cdot 12=165888}

 

Функции кватернионного переменного

Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

sgnq=q|q|{displaystyle operatorname {sgn} ,q={frac {q}{left|qright|}}} .

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

arg⁡q=arccos⁡a|q|{displaystyle arg q=arccos {frac {a}{left|qright|}}} .

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона q{displaystyle q}

  в виде

q=a+|u|i=|q|eiargq{displaystyle q=a+left|mathbf {u} right|mathrm {i} =left|qright|mathrm {e} ^{mathrm {i} ,mathrm {arg} ,q}} 

Здесь a{displaystyle a}

  — вещественная часть кватерниона, i=|u|−1u{displaystyle mathrm {i} =left|mathbf {u} right|^{-1}mathbf {u} } . При этом i2=−1{displaystyle mathrm {i} ^{2}=-1} , поэтому проходящая через q{displaystyle q}  и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид a+bi{displaystyle a+bmathrm {i} }  для фиксированного единичного вектора i{displaystyle mathrm {i} } . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если f(a+bi)=c+di{displaystyle f(a+bmathrm {i} )=c+dmathrm {i} }

  для комплексных чисел, то f(q)=c+di{displaystyle f(q)=c+dmathbf {i} } , где кватернион q{displaystyle q}  рассматривается в «комплексном» представлении q=a+bi{displaystyle q=a+bmathbf {i} } .

Степень и логарифм
exp⁡q=exp⁡a(cos⁡|u|+sin⁡|u|u^){displaystyle exp q=exp aleft(cos left|mathbf {u} right|+sin left|mathbf {u} right|{hat {mathbf {u} }}right)} 
ln⁡q=ln⁡|q|+arg⁡qu^{displaystyle ln q=ln left|qright|+arg q,{hat {mathbf {u} }}} 

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до 2πu^{displaystyle 2pi {hat {mathbf {u} }}}

 .

Тригонометрические функции
sin⁡q=sin⁡ach⁡|u|+cos⁡ash⁡|u|u^{displaystyle sin q=sin a,operatorname {ch} left|mathbf {u} right|+cos a,operatorname {sh} left|mathbf {u} right|{hat {mathbf {u} }}} 
cos⁡q=cos⁡ach⁡|u|−sin⁡ash⁡|u|u^{displaystyle cos q=cos a,operatorname {ch} left|mathbf {u} right|-sin a,operatorname {sh} left|mathbf {u} right|{hat {mathbf {u} }}} 
tgq=sin⁡qcos⁡q{displaystyle operatorname {tg} ,q={frac {sin q}{cos q}}} 

Линейное отображение

Отображение f:H→H{displaystyle f:mathbb {H} rightarrow mathbb {H} }

 алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства

f(x+y)=f(x)+f(y){displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} 
f(ax)=af(x){displaystyle f(ax)=af(x)} 
x,y∈H,a∈R{displaystyle x,yin mathbb {H} ,ain mathbb {R} } 

где R{displaystyle mathbb {R} }

  — поле действительных чисел.Если f{displaystyle f}  является линейным отображением алгебры кватернионов,то для любых a,b∈H{displaystyle a,bin mathbb {H} }  отображение

(afb)(x)=af(x)b{displaystyle (afb)(x)=af(x)b} 

является линейным отображением.Если f{displaystyle f}

  — тождественное отображение (f(x)=x{displaystyle f(x)=x} ),то для любых a,b∈H{displaystyle a,bin mathbb {H} } мы можем отождествить тензорное произведение a⊗b{displaystyle aotimes b}  с отображением

(a⊗b)∘x=axb{displaystyle (aotimes b)circ x=axb} 

Для любого линейного отображенияf:H→H{displaystyle f:mathbb {H} rightarrow mathbb {H} }

 существует тензор a∈H⊗H{displaystyle ain mathbb {H} otimes mathbb {H} } ,a=as0⊗as1{displaystyle a=a_{s0}otimes a_{s1}} ,такой, что

f(x)=a∘x=(as0⊗as1)∘x=as0xas1{displaystyle f(x)=acirc x=(a_{s0}otimes a_{s1})circ x=a_{s0}xa_{s1}} 

В приведенных выше равенствах предполагается суммирование по индексу s{displaystyle s}

 .Поэтому мы можем отождествить линейное отображение f{displaystyle f} и тензор a{displaystyle a} .

Регулярные функции

Основная статья: Кватернионный анализ

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию f{displaystyle f}

  как имеющую предел

dfdq=limh→0[h−1(f(q+h)−f(q))]{displaystyle {frac {df}{dq}}=lim _{hto 0}left[h^{-1}left(fleft(q+hright)-fleft(qright)right)right]} 

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки q{displaystyle q}

  вид

f=a+qb{displaystyle f=a+qb} 

где a,b{displaystyle a,b}

  — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

∂∂q¯=∂∂t+i→∂∂x+j→∂∂y+k→∂∂z{displaystyle {frac {partial }{partial {bar {q}}}}={frac {partial }{partial t}}+{vec {i}}{frac {partial }{partial x}}+{vec {j}}{frac {partial }{partial y}}+{vec {k}}{frac {partial }{partial z}}} 
∂∂q=∂∂t−i→∂∂x−j→∂∂y−k→∂∂z{displaystyle {frac {partial }{partial q}}={frac {partial }{partial t}}-{vec {i}}{frac {partial }{partial x}}-{vec {j}}{frac {partial }{partial y}}-{vec {k}}{frac {partial }{partial z}}} 

и рассмотрении таких кватернионных функций f{displaystyle f}

 , для которых[5]

∂f∂q¯=0{displaystyle {frac {partial f}{partial {bar {q}}}}=0} 

что полностью аналогично использованию операторов ∂∂z¯{displaystyle {frac {partial }{partial {bar {z}}}}}

  и ∂∂z{displaystyle {frac {partial }{partial z}}}  в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[6].

Дифференцирование отображений

Основная статья: Кватернионный анализ

Непрерывное отображениеf:H→H{displaystyle f:mathbb {H} rightarrow mathbb {H} }

 называется дифференцируемымна множестве U⊂H{displaystyle Usubset mathbb {H} } ,если в каждой точке x∈U{displaystyle xin U} изменение отображения f{displaystyle f}  может быть представлено в виде

f(x+h)−f(x)=df(x)dx∘h+o(h){displaystyle f(x+h)-f(x)={frac {df(x)}{dx}}circ h+o(h)} 

где

df(x)dx:H→H{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}:mathbb {H} rightarrow mathbb {H} } 

линейное отображение алгебры кватернионов H{displaystyle mathbb {H} }

  иo:H→H{displaystyle o:mathbb {H} rightarrow mathbb {H} } такое непрерывное отображение, что

lima→0|o(a)||a|=0{displaystyle lim _{arightarrow 0}{frac {|o(a)|}{|a|}}=0} 

Линейное отображениеdf(x)dx{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}}

 называется производной отображения f{displaystyle f} .

Производная может быть представлена ввиде[7]

df(x)dx=ds0f(x)dx⊗ds1f(x)dx{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}={frac {d_{s0}f(x)}{dx}}otimes {frac {d_{s1}f(x)}{dx}}} 

Соответственно дифференциал отображения f{displaystyle f}

  имеет вид

df=df(x)dx∘dx=(ds0f(x)dx⊗ds1f(x)dx)∘dx=ds0f(x)dxdxds1f(x)dx{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}circ dx=left({frac {d_{s0}f(x)}{dx}}otimes {frac {d_{s1}f(x)}{dx}}right)circ dx={frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{frac {d_{s1}f(x)}{dx}}} 

Здесь предполагается суммирование по индексу s{displaystyle s}

 . Число слагаемыхзависит от выбора функции f{displaystyle f} . Выраженияds0df(x)dx{displaystyle {frac {d_{s0}df(x)}{dx}}}  иds1f(x)dx{displaystyle {frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}  называютсякомпонентами производной.

Для произвольного кватерниона a{displaystyle a}

  верно равенство

df(x)dx∘a=limt→0(t−1(f(x+ta)−f(x))){displaystyle {frac {df(x)}{dx}}circ a=lim _{tto 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))} 

Виды умножений

Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов (pq{displaystyle pq}

 ).

Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: p¯q{displaystyle {bar {p}}q}

 .Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

p⋅q=p¯q+q¯p2{displaystyle pcdot q={frac {{bar {p}}q+{bar {q}}p}{2}}} .

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, (a+bi+cj+dk)⋅i=b{displaystyle left(a+bi+cj+dkright)cdot i=b}

 .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

|p|=p⋅p{displaystyle left|pright|={sqrt {pcdot p}}} .

Внешнее произведение

Outer⁡(p,q)=p¯q−q¯p2{displaystyle operatorname {Outer} left(p,qright)={frac {{bar {p}}q-{bar {q}}p}{2}}} .

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов.Результатом является тоже вектор:

p×q=pq−qp2{displaystyle ptimes q={frac {pq-qp}{2}}} .

Из истории

  Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»[8]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году.Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам.[9]

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[10] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

Современное применение

В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[11] и теории относительности[12]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[13], а также в вычислительной механике[14][15], в инерциальной навигации и теории управления[16][17]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[18].

Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[19]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[14][15].

Как алгебра над R{displaystyle scriptstyle mathbb {R} }

 , кватернионы образуют вещественное векторное пространство H{displaystyle scriptstyle mathbb {H} } , снабжённое тензором третьего ранга S{displaystyle S}  типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, S{displaystyle S}  отображает каждую 1-форму t{displaystyle t}  на H{displaystyle scriptstyle mathbb {H} }  и пару векторов (a,b){displaystyle left(a,bright)}  из H{displaystyle scriptstyle mathbb {H} }  в вещественное число S(t,a,b){displaystyle Sleft(t,a,bright)} . Для любой фиксированной 1-формы t{displaystyle t}  S{displaystyle S}  превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на H{displaystyle scriptstyle mathbb {H} } . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на H{displaystyle scriptstyle mathbb {H} } . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы t{displaystyle t} , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[20]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[21] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[22].

См. также

Примечания

  1. ↑ Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)
  2. ↑ Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания. — АН СССР, 1956. — Т. 15 (История физ.-мат. наук). — С. 273..
  3. ↑ Теорема Фробениуса
  4. ↑ John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Дата обращения: 7 февраля 2009. Архивировано 22 августа 2011 года.
  5. ↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
  6. ↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics,University of York, 1977.
  7. ↑ Выражение dspf(x)dx{displaystyle {frac {d_{sp}f(x)}{dx}}} не является дробью и должно восприниматься как единный символ.Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной.Значение выражения dspf(x)dx{displaystyle {frac {d_{sp}f(x)}{dx}}}  при заданном x{displaystyle x} является кватернионом.
  8. ↑ В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)
  9. ↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.
  10. ↑ А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.
  11. ↑ Курочкин Ю. А. Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109. — ИФ АН БССР. — 1976.
  12. ↑ Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона // Гамильтон У. Р. Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы. — М.: Наука, 1994. — (Классики науки).— С. 519—534.
  13. ↑ Побегайло А. П. Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. — Минск: Изд-во БГУ, 2010. — 216 с. — ISBN 978-985-518-281-9..
  14. ↑ 1 2 Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с. — С. 25—26, 34—36.
  15. ↑ 1 2 Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. — Брянск: Изд-во БГТУ, 1997. — 156 с. — ISBN 5-230-02435-6.. — С. 22—26, 31—36.
  16. ↑ Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 672 с. — С. 87—103, 593—604.
  17. ↑ Чуб В. Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени  (неопр.). Дата обращения: 9 декабря 2013.
  18. ↑ Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»
  19. ↑ Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.—Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 229—231.. — 432 с.
  20. ↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
  21. ↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
  22. ↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Литература

Читайте также