Главная » wiki

Градиент

Эта статья о векторе; о способе заливки см. Градиент (компьютерная графика).

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины φ{displaystyle varphi }, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении. Например, если взять в качестве φ{displaystyle varphi } высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.Другими словами, градиент — это производная по пространству, но в отличие от производной по одномерному времени, градиент является не скаляром, а векторной величиной.

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем длиннее, тем круче наклон.

С математической точки зрения на градиент можно смотреть как на:

1. Коэффициент линейности изменения значения функции многих переменных от изменения значения аргумента

2. Вектор в пространстве области определения скалярной функции многих переменных, составленный из частных производных

3. Строки Матрицы Якоби содержат градиенты составных скалярных функций из которых состоит векторная функция многих переменных

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным (безразмерным).

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение: grad{displaystyle mathrm {grad} } тоже предложил Максвелл.

Стандартные обозначения:

gradφ{displaystyle mathrm {grad} ,varphi }

или, с использованием оператора набла,

∇φ{displaystyle nabla varphi }

— вместо φ{displaystyle varphi } может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например gradV,∇V{displaystyle mathrm {grad} ,V,nabla V} — обозначения градиента поля: V{displaystyle V}.

Содержание

Ознакомление

  Градиент 2D функции отображен на графике в виде синих стрелок

Представьте себе комнату, в которой температура задана с помощью скалярного поля T таким образом, что в каждой точке, заданной координатами (x, y, z) температура равняется T(x, y, z). (Предположим, что температура не изменяется с течением времени.) В каждой точке комнаты градиент функции T будет показывать направление, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентомскалярной функции φ=φ(x,y,z){displaystyle varphi =varphi (x,y,z)}

  координат x{displaystyle x} , y{displaystyle y} , z{displaystyle z}  называется векторная функция с компонентами

∂φ∂x,∂φ∂y,∂φ∂z.{displaystyle {frac {partial varphi }{partial x}},{frac {partial varphi }{partial y}},{frac {partial varphi }{partial z}}.} 

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат e→x,e→y,e→z{displaystyle {vec {e}}_{x},{vec {e}}_{y},{vec {e}}_{z}}

 :

gradφ=∇φ=∂φ∂xe→x+∂φ∂ye→y+∂φ∂ze→z.{displaystyle mathrm {grad} ,varphi =nabla varphi ={frac {partial varphi }{partial x}}{vec {e}}_{x}+{frac {partial varphi }{partial y}}{vec {e}}_{y}+{frac {partial varphi }{partial z}}{vec {e}}_{z}.} 

Если φ{displaystyle varphi }

  — функция n{displaystyle n}  переменных x1,…,xn{displaystyle x_{1},;ldots ,;x_{n}} , то её градиентом называется n{displaystyle n} -мерный вектор

(∂φ∂x1,…,∂φ∂xn),{displaystyle left({frac {partial varphi }{partial x_{1}}},;ldots ,;{frac {partial varphi }{partial x_{n}}}right),} 

компоненты которого равны частным производным φ{displaystyle varphi }

  по всем её аргументам.

  • Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
  • Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции f{displaystyle f}

  в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx{displaystyle dmathbf {x} }  даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f{displaystyle f} , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f{displaystyle f}  при смещении на dx{displaystyle dmathbf {x} } . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

df=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+∂f∂x3dx3+…=∑i∂f∂xidxi=(gradf⋅dx).{displaystyle df={frac {partial f}{partial x_{1}}},dx_{1}+{frac {partial f}{partial x_{2}}},dx_{2}+{frac {partial f}{partial x_{3}}},dx_{3}+ldots =sum _{i}{frac {partial f}{partial x_{i}}},dx_{i}=(mathrm {grad} ,mathbf {f} cdot dmathbf {x} ).} 

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат xi{displaystyle x_{i}}

 , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx{displaystyle dmathbf {x} }  — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

df=∑i(∂if)dxi{displaystyle df=sum _{i}(partial _{i}f),dx^{i}} 

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

df=(∂if)dxi{displaystyle df=(partial _{i}f),dx^{i}} 

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше).Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

∭V∇φdV=∬Sφds{displaystyle iiint limits _{V}nabla varphi ,dV=iint limits _{S}varphi ,dmathbf {s} } ,

градиент можно выразить в интегральной форме:

∇φ=limV→01V(∬Sφds),{displaystyle nabla varphi =lim limits _{Vto 0}{frac {1}{V}}left(iint limits _{S}varphi ,dmathbf {s} right),} 

здесь S{displaystyle {it {S}}}

  — замкнутая поверхность охватывающая объём V,ds{displaystyle {it {{V},dmathbf {s} }}}  — нормальный элемент этой поверхности.

Пример

Например, градиент функции φ(x,y,z)=2x+3y2−sin⁡z{displaystyle varphi (x,;y,;z)=2x+3y^{2}-sin z}

  будет представлять собой:

∇φ=(∂φ∂x,∂φ∂y,∂φ∂z)=(2,6y,−cos⁡z).{displaystyle nabla varphi =left({frac {partial varphi }{partial x}},;{frac {partial varphi }{partial y}},;{frac {partial varphi }{partial z}}right)=(2,;6y,;-cos z).} 

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала, напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

В естественных науках

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономике

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых важных выводов. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна-Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции φ{displaystyle varphi }

 :

γ(h)={(x1,…,xn)∣φ(x1,…,xn)=h}.{displaystyle gamma (h)={(x_{1},;ldots ,;x_{n})mid varphi (x_{1},;ldots ,;x_{n})=h}.} 

Нетрудно показать, что градиент функции φ{displaystyle varphi }

  в точке x→0{displaystyle {vec {x}}{,}^{0}}  перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности x→0{displaystyle {vec {x}}{,}^{0}} , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, чтопроизводная функции φ{displaystyle varphi }

  по направлению e→=(e1,…,en){displaystyle {vec {e}}=(e_{1},;ldots ,;e_{n})}  равняется скалярному произведению градиента φ{displaystyle varphi }  на единичный вектор e→{displaystyle {vec {e}}} :

∂φ∂e→=∂φ∂x1e1+…+∂φ∂xnen=(∇φ,e→).{displaystyle {frac {partial varphi }{partial {vec {e}}}}={frac {partial varphi }{partial x_{1}}}e_{1}+ldots +{frac {partial varphi }{partial x_{n}}}e_{n}=(nabla varphi ,;{vec {e}}).} 

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знатьградиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

gradU(q1,q2,q3)=1H1∂U∂q1e→1+1H2∂U∂q2e→2+1H3∂U∂q3e→3,{displaystyle operatorname {grad} ,U(q_{1},;q_{2},;q_{3})={frac {1}{H_{1}}}{frac {partial U}{partial q_{1}}}{vec {e}}_{1}+{frac {1}{H_{2}}}{frac {partial U}{partial q_{2}}}{vec {e}}_{2}+{frac {1}{H_{3}}}{frac {partial U}{partial q_{3}}}{vec {e}}_{3},} 

где Hi{displaystyle H_{i}}

  — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)

Коэффициенты Ламе:

H1=1H2=r.{displaystyle {begin{matrix}H_{1}=1H_{2}=rend{matrix}}.} 

Отсюда:

gradU(r,θ)=∂U∂rer→+1r∂U∂θeθ→.{displaystyle operatorname {grad} ,U(r,;theta )={frac {partial U}{partial r}}{vec {e_{r}}}+{frac {1}{r}}{frac {partial U}{partial theta }}{vec {e_{theta }}}.} 

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

H1=1H2=rH3=1.{displaystyle {begin{matrix}H_{1}=1H_{2}=rH_{3}=1end{matrix}}.} 

Отсюда:

gradU(r,θ,z)=∂U∂rer→+1r∂U∂θeθ→+∂U∂zez→.{displaystyle operatorname {grad} ,U(r,;theta ,;z)={frac {partial U}{partial r}}{vec {e_{r}}}+{frac {1}{r}}{frac {partial U}{partial theta }}{vec {e_{theta }}}+{frac {partial U}{partial z}}{vec {e_{z}}}.} 

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

H1=1H2=rH3=rsin⁡θ.{displaystyle {begin{matrix}H_{1}=1;;;;;;H_{2}=r;;;;;;H_{3}=rsin {theta }end{matrix}}.} 

Отсюда:

gradU(r,θ,φ)=∂U∂rer→+1r∂U∂θeθ→+1rsin⁡θ∂U∂φeφ→.{displaystyle operatorname {grad} ,U(r,;theta ,;varphi )={frac {partial U}{partial r}}{vec {e_{r}}}+{frac {1}{r}}{frac {partial U}{partial theta }}{vec {e_{theta }}}+{frac {1}{rsin {theta }}}{frac {partial U}{partial varphi }}{vec {e_{varphi }}}.} 

См. также

Примечания

Литература

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия методы и приложения: учебное пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.

Ссылки

Вам также может быть интересно
Художник Алексей Сергиенко намерен продать более 1000 картин за 8 часов
Арт-бизнесмен и художник из Санкт-Петербурга Алексей Сергиенко объявил о старте проекта «Библиотека», призванного поддержать
Мармакс: доля клиентов, заинтересованных в трейд-ин, выросла до 50%
В современных реалиях на рынке недвижимости набирает популярность услуга трейд-ин. По данным экспертов девелоперской