Эллиптическая система координат

• Разделы:
  • Другое определение
  • Литература

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса F1{displaystyle F_{1}} и F2{displaystyle F_{2}} обычно берутся точки −a{displaystyle -a} и +a{displaystyle +a} на оси X{displaystyle X} декартовой системы координат.

Эллиптическая система координат

Содержание

• 1 Основное определение
  • 1.1 Коэффициенты Ламэ
• 2 Другое определение
  • 2.1 Коэффициенты Ламэ
• 3 Литература

Основное определение

Эллиптические координаты (μ,ν){displaystyle (mu ,;nu )}

  обычно определяются по правилу:

x=achμcos⁡ν;{displaystyle x=a,mathrm {ch} ,mu cos nu ;} 

y=ashμsin⁡ν,{displaystyle y=a,mathrm {sh} ,mu sin nu ,} 

где μ⩾0{displaystyle mu geqslant 0}

 , ν∈[0,2π){displaystyle nu in [0,;2pi )} .

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

x2a2ch2μ+y2a2sh2μ=cos2⁡ν+sin2⁡ν=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2},mathrm {ch} ^{2},mu }}+{frac {y^{2}}{a^{2},mathrm {sh} ^{2},mu }}=cos ^{2}nu +sin ^{2}nu =1} 

показывает, что линии уровня μ{displaystyle mu }

  являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

x2a2cos2⁡ν−y2a2sin2⁡ν=ch2μ−sh2μ=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}cos ^{2}nu }}-{frac {y^{2}}{a^{2}sin ^{2}nu }}=mathrm {ch} ^{2},mu -mathrm {sh} ^{2},mu =1} 

показывает, что линии уровня ν{displaystyle nu }

  являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат (μ,ν){displaystyle (mu ,;nu )}

  равны

Hμ=Hν=ash2μ+sin2⁡ν.{displaystyle H_{mu }=H_{nu }=a{sqrt {mathrm {sh} ^{2},mu +sin ^{2}nu }}.} 

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

Hμ=Hν=a12(ch2μ−cos⁡2ν).{displaystyle H_{mu }=H_{nu }=a{sqrt {{frac {1}{2}}(mathrm {ch} ,2mu -cos 2nu }}).} 

Элемент площади равен:

dS=a2(sh2μ+sin2⁡ν)dμdν,{displaystyle dS=a^{2}(mathrm {sh} ^{2},mu +sin ^{2}nu ),dmu ,dnu ,} 

а лапласиан равен

∇2Φ=1a2(sh2μ+sin2⁡ν)(∂2Φ∂μ2+∂2Φ∂ν2).{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}(mathrm {sh} ^{2},mu +sin ^{2}nu )}}left({frac {partial ^{2}Phi }{partial mu ^{2}}}+{frac {partial ^{2}Phi }{partial nu ^{2}}}right).} 

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

Другое определение

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат (σ,τ){displaystyle (sigma ,;tau )}

 :

σ=chμ,{displaystyle sigma =mathrm {ch} ,mu ,} 

τ=cos⁡ν.{displaystyle tau =cos nu .} 

Таким образом, линии уровня σ{displaystyle sigma }

  являются эллипсами, а линии уровня τ{displaystyle tau }  являются гиперболами. При этом

τ∈[−1,1],σ⩾1.{displaystyle tau in [-1,;1],quad sigma geqslant 1.} 

Координаты (σ,τ){displaystyle (sigma ,;tau )}

  имеют простую связь с расстояниями до фокусов F1{displaystyle F_{1}}  и F2{displaystyle F_{2}} . Для любой точки на плоскости

d1+
d2=2aσ,{displaystyle d_{1}+d_{2}=2asigma ,} 

d1−d2=2aτ,{displaystyle d_{1}-d_{2}=2atau ,} 

где d1,d2{displaystyle d_{1},;d_{2}}

  — расстояния до фокусов F1,F2{displaystyle F_{1},;F_{2}}  соответственно. Таким образом:

d1=a(σ+τ);{displaystyle d_{1}=a(sigma +tau );} 

d2=a(σ−τ).{displaystyle d_{2}=a(sigma -tau ).} 

Напомним, что F1{displaystyle F_{1}}

  и F2{displaystyle F_{2}}  находятся в точках x=−a{displaystyle x=-a}  и x=+a{displaystyle x=+a}  соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты.

x=aστ;{displaystyle x=asigma tau ;} 

y2=a2(σ2−1)(1−τ2).{displaystyle y^{2}=a^{2}(sigma ^{2}-1)(1-tau ^{2}).} 

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат (σ,τ){displaystyle (sigma ,;tau )}

  равны:

hσ=aσ2−τ2σ2−1;{displaystyle h_{sigma }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}-tau ^{2}}{sigma ^{2}-1}}};} 

hτ=aσ2−τ21−τ2.{displaystyle h_{tau }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}-tau ^{2}}{1-tau ^{2}}}}.} 

Элемент площади равен

dA=a2σ2−τ2(σ2−1)(1−τ2)dσdτ,{displaystyle dA=a^{2}{frac {sigma ^{2}-tau ^{2}}{sqrt {(sigma ^{2}-1)(1-tau ^{2})}}},dsigma ,dtau ,} 

а лапласиан равен

∇2Φ=1a2(σ2−τ2)[σ2−1∂∂σ(σ2−1∂Φ∂σ)+1−τ2∂∂τ(1−τ2∂Φ∂τ)].{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}(sigma ^{2}-tau ^{2})}}left[{sqrt {sigma ^{2}-1}}{frac {partial }{partial sigma }}left({sqrt {sigma ^{2}-1}}{frac {partial Phi }{partial sigma }}right)+{sqrt {1-tau ^{2}}}{frac {partial }{partial tau }}left({sqrt {1-tau ^{2}}}{frac {partial Phi }{partial tau }}right)right].} 

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.