wiki

Экстремум

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения).

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Содержание

1 Определения
2 Замечание
3 Необходимые условия существования локальных экстремумов
4 Достаточные условия существования локальных экстремумов
5 См. также

Определения

Пусть дана функция f:M⊂R→R,{displaystyle f:Msubset mathbb {R} to mathbb {R} ,}

$f:Msubset mathbb{R} to mathbb{R} ,$ и x0∈M0{displaystyle x_{0}in M^{0}} $x_{0}in M^{0}$ — внутренняя точка области определения f.{displaystyle f.} $f.$ Тогда

x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции f,{displaystyle f,} $f,$ если существует проколотая окрестность U˙(x0){displaystyle {dot {U}}(x_{0})} ${dot {U}}(x_{0})$ такая, что

∀x∈U˙(x0)f(x)≤f(x0);{displaystyle forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)leq f(x_{0});} $forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)leq f(x_{0});$
x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции f,{displaystyle f,} $f,$ если существует проколотая окрестность U˙(x0){displaystyle {dot {U}}(x_{0})} ${dot {U}}(x_{0})$ такая, что

∀x∈U˙(x0)f(x)≥f(x0).{displaystyle forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)geq f(x_{0}).} $forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)geq f(x_{0}).$

Если неравенства выше строгие, то x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

∀x∈Mf(x)≤f(x0);{displaystyle forall xin Mquad f(x)leq f(x_{0});} $forall xin Mquad f(x)leq f(x_{0});$
x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ называется точкой абсолютного минимума, если

∀x∈Mf(x)≥f(x0).{displaystyle forall xin Mquad f(x)geq f(x_{0}).} $forall xin Mquad f(x)geq f(x_{0}).$

Значение функции f(x0){displaystyle f(x_{0})}

$f(x_{0})$ называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция f,{displaystyle f,}

$f,$ определённая на множестве M,{displaystyle M,} $M,$ может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f(x)=x,x∈(−1,1).{displaystyle f(x)=x,;xin (-1,1).} $f(x)=x,;xin (-1,1).$

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Кирса ван лав x0{displaystyle x_{0}}

x_{0}

является точкой экстремума функции f{displaystyle ~f}

~f

, определенной в некоторой окрестности точки x0{displaystyle x_{0}}

x_{0}

Тогда либо производная f′(x0){displaystyle ~f'(x_{0})}

~f'(x_{0})

не существует, либо f′(x0)=0{displaystyle ~f'(x_{0})=0}

~f'(x_{0})=0

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция f∈C(x0){displaystyle fin C(x_{0})} $fin C(x_{0})$ непрерывна в x0∈M0,{displaystyle x_{0}in M^{0},} $x_{0}in M^{0},$ и существуют конечные или бесконечные односторонние производные f+′(x0),f−′(x0){displaystyle ~f’_{+}(x_{0}),f’_{-}(x_{0})} $~f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$ . Тогда при условии

f+′(x0)<0,f−′(x0)>0{displaystyle f’_{+}(x_{0})<0,;f’_{-}(x_{0})>0}

f'_{+}(x_{0})<0,;f'_{-}(x_{0})>0

x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ является точкой строгого локального максимума. А если

f+′(x0)>0,f−′(x0)<0,{displaystyle f’_{+}(x_{0})>0,;f’_{-}(x_{0})<0,}

f'_{+}(x_{0})>0,;f'_{-}(x_{0})<0,

то x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$

Пусть функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ . Тогда при условии

f′(x0)=0{displaystyle ~f'(x_{0})=0}

~f'(x_{0})=0

и f″(x0)<0{displaystyle ~f»(x_{0})<0}

~f''(x_{0})<0

x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ является точкой локального максимума. А если

f′(x0)=0{displaystyle ~f'(x_{0})=0}

~f'(x_{0})=0

и f″(x0)>0{displaystyle ~f»(x_{0})>0}

~f''(x_{0})>0

то x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ является точкой локального минимума.

Пусть функция f{displaystyle f} $f$ дифференцируема n{displaystyle n} $n$ раз в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ и f′(x0)=f″(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0{displaystyle f'(x_{0})=f»(x_{0})=dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0} $f'(x_{0})=f''(x_{0})=dots =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ , а f(n)(x0)≠0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})neq 0} $f^{{(n)}}(x_{0})neq 0$ .

Если n{displaystyle n}

$n$ чётно и f(n)(x0)<0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0} $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ , то x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ — точка локального максимума.Если n{displaystyle n} $n$ чётно и f(n)(x0)>0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0} $f^{{(n)}}(x_{0})>0$ , то x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ — точка локального минимума.Если n{displaystyle n} $n$ нечётно, то экстремума нет.

См. также

Шаблон:Экстремум

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.