Формула Муавра для комплексных чисел z=r(cosφ+isinφ) {displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi ) } утверждает, что
утверждает, что- zn=rn(cosnφ+isinnφ)n {displaystyle z^{n}=r^{n}(cos nvarphi +isin nvarphi )^{n} }
для любого n∈Z.{displaystyle nin mathbb {Z} .}
Содержание
Доказательство
Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера eiφ=cosφ+isinφ {displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi }
и тождества для экспонент (ea)b=eab{displaystyle (e^{a})^{b}=e^{ab}!} , где b — целое число.[1]
и тождества для 
, где b — Применение
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
- z1/n=[r(cos(φ+2πk)+isin(φ+2πk))]1/n=r1/n(cosφ+2πkn+isinφ+2πkn),{displaystyle z^{1/n}=[r(cos(varphi +2pi k)+isin(varphi +2pi k))]^{1/n}=r^{1/n}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),}
![z^{{1/n}}=[r(cos(varphi +2pi k)+isin(varphi +2pi k))]^{{1/n}}=r^{{1/n}}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add366dec078e4d3f966dd0ee77ee01809329089)
где k = 0, 1, …, n—1.
Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса rn{displaystyle {sqrt[{n}]{r}}}
с центром в нуле.
![{sqrt[ {n}]{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10eb7386bd8efe4c5b5beafe05848fbd923e1413)
с центром в нуле.История
Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.
См. также
Примечания
- ↑ Если b — нецелое число, то (ea)b{disp
laystyle (e^{a})^{b}!} — многозначная функция переменной a и eab{displaystyle e^{ab}!} является лишь одним из её значений.
— 
является лишь одним из её значений.