wiki

Унарная система счисления

Разделы:

Уна́рная (едини́чная, ра́зная) систе́ма счисле́ния — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка счёт, узелок, зарубка и др.[1]

Попытки записи чисел с целой и дробной частью только одной цифрой в строчку пока безуспешны; однако их можно записывать в столбик.

Содержание

1 Единичные непозиционные системы счисления
2 Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом
3 Примеры использования
4 Применение
5 Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование
6 Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование
7 Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование
8 Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование
9 Единичные позиционные системы счисления
10 См. также
11 Примечания
12 Ссылки

Единичные непозиционные системы счисления

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b, независящими от положения цифр, являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:

x1,b=(an−1an−2…a2a1a0)1,b=∑k=0n−1akb{displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b}

x_{{1,b}}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}...a_{2}a_{1}a_{0})_{{1,b}}=sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b

где:

n — число цифр (единиц),

k — число, порядковый номер цифры (единицы) в числе x1,b,

a — число, определяющее множество из которого берутся ak,

ak — числа из одноэлементного множества a={1} (единицы),

b — число, основание весовой функции,

при b=1 веса всех цифр одинаковые и равны «1»,
при b≠1 веса всех цифр одинаковые и равны b.

Поскольку весовой коэффициент b может быть любым, число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным двум (b=2) — при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента — b, который определяет диапазон представляемых числами x1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

A¯(a,n)=A¯an=an=1n=1{displaystyle {bar {A}}(a,n)={bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=1^{n}=1}

{bar {A}}(a,n)={bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=1^{n}=1

где:

a=1 — одноэлементное множество a={1} из которого берутся цифры ak, :n — число элементов (цифр) в числе x1,b.

Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов — n определяет одно число. Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

Целые числа записываются в виде:

x1=(an−1an−2…a2a1a0)1=∑k=0n−1ak{displaystyle x_{1}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}}

x_{1}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}...a_{2}a_{1}a_{0})_{1}=sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}

где:

ak — единицы.

Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну
«цифру» (1 — единицу), то число увеличивается лишь на эту единицу.
(Для сравнения: если в обычной десятичной системе счисления к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:

x1=(a1n−1a1n−2…a11a10/a2m−1a2m−2…a21a20)1=∑k=0n−1a1k∑k=0m−1a2k{displaystyle x_{1}=(a1_{n-1}a1_{n-2}…a1_{1}a1_{0}/a2_{m-1}a2_{m-2}…a2_{1}a2_{0})_{1}={frac {sum _{k=0}^{n-1}a1_{k}}{sum _{k=0}^{m-1}a2_{k}}}}

x_{1}=(a1_{{n-1}}a1_{{n-2}}...a1_{1}a1_{0}/a2_{{m-1}}a2_{{m-2}}...a2_{{1}}a2_{{0}})_{1}={frac {sum _{{k=0}}^{{n-1}}a1_{k}}{sum _{{k=0}}^{{m-1}}a2_{k}}}

где:

n — число цифр числителя (a1) дробного числа x1,

m — число цифр знаменателя (a2) дробного числа x1.

Примеры использования

1: |

5: ||||| (иногда ∠◻{displaystyle angle !!!!Box }

$angle !!!!Box$ )

7: ||||| || или |||| ||

Применение

при обучении детей счёту — счётные палочки
при подсчёте голосов на выборах в малых группах
в коллективных хозяйствах (для учёта трудодней)
в телефонных центрах (для подсчёта количества отработанных вызовов)
в тюрьмах и при отбывании воинской повинности (для подсчёта числа дней)
Робинзоном Крузо для ведения календаря на необитаемом острове
в домино при подсчёте очков
Единичное кодирование
Коды Голомба
Машина Тьюринга
в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один инвертор с логикой на входе
в дешифраторах
в счётах, внутри одного разряда
при фальсификации диагонального метода Кантора
в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятеричных разрядов

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской цифре от «0» до «9» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «111111111».

Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «1» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «1».

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «2» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «11».

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от «0» до «3» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «111».

Единичные позиционные системы счисления

Если весовые коэффициенты b{displaystyle b}

$b$ зависят от положения цифр (единиц) (b(k){displaystyle b(k)} $b(k)$ ), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:

x1,b=(an−1an−2…a2a1a0)1,b=∑k=0n−1akb(k){displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b(k)}

x_{{1,b}}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}...a_{2}a_{1}a_{0})_{{1,b}}=sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b(k)

где:

b(k){displaystyle b(k)}

b(k)

— числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе x1,b{displaystyle x_{1,b}}

x_{{1,b}}

Пример: при b(k)=k+1{displaystyle b(k)=k+1}

$b(k)=k+1$

число 11,b=1⋅1=110{displaystyle 1_{1,b}=1cdot 1=1_{10}} $1_{{1,b}}=1cdot 1=1_{{10}}$ ,
число 111,b=1⋅2+1⋅1=310{displaystyle 11_{1,b}=1cdot 2+1cdot 1=3_{10}} $11_{{1,b}}=1cdot 2+1cdot 1=3_{{10}}$ ,
число 1111,b=1⋅3+1⋅2+1⋅1=610{displaystyle 111_{1,b}=1cdot 3+1cdot 2+1cdot 1=6_{10}} $111_{{1,b}}=1cdot 3+1cdot 2+1cdot 1=6_{{10}}$ ,
число 11111,b=1⋅4+1⋅3+1⋅2+1⋅1=1010{displaystyle 1111_{1,b}=1cdot 4+1cdot 3+1cdot 2+1cdot 1=10_{10}} $1111_{{1,b}}=1cdot 4+1cdot 3+1cdot 2+1cdot 1=10_{{10}}$ .

При b(k)≡1{displaystyle b(k)equiv 1}

$b(k)equiv 1$ единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции b(k)=bk{displaystyle b(k)=b^{k}}

$b(k)=b^{k}$ образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:

x1,b=(an−1an−2…a2a1a0)1,b=∑k=0n−1akbk{displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}

x_{{1,b}}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}...a_{2}a_{1}a_{0})_{{1,b}}=sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}

в которых множество a{displaystyle a}

$a$ , из которого берутся ak{displaystyle a_{k}} $a_{k}$ , равно {1}{displaystyle {1}} ${1}$ , а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (b≠1{displaystyle bneq 1} $bneq 1$ ).

Дробные числа записываются в виде:

x1,b=(an−1an−2…a1a0,a−1a−2…a−(m−1)a−m)1,b=∑k=mn−1akbk{displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}…a_{-(m-1)}a_{-m})_{1,b}=sum _{k=m}^{n-1}a_{k}b^{k}}

x_{{1,b}}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}...a_{1}a_{0},a_{{-1}}a_{{-2}}...a_{{-(m-1)}}a_{{-m}})_{{1,b}}=sum _{{k=m}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}

где:

m{displaystyle m}

m

— число цифр дробной части числа x1,b{displaystyle x_{1,b}}

x_{{1,b}}

См. также

Счёты

Примечания

↑ Я. И. Перельман. Занимательная арифметика. Глава IV Недесятичные системы счисления. Простейшая система счисления

Ссылки

Последовательность A000042 Единичное представление натуральных чисел в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
http://club-edu.tambov.ru/vjpusk/vjp108/rabot/31/nepozicss.html Непозиционные системы счисления