Точная последовательность

• Разделы:
  • Примеры
  • Литература

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов Gi{displaystyle G_{i}} с последовательностью гомоморфизмов φi:Gi→Gi+1{displaystyle varphi _{i}colon G_{i}rightarrow G_{i+1}}, такая что для любого i{displaystyle i} образ φi−1{displaystyle varphi _{i-1}} совпадает с ядром φi{displaystyle varphi _{i}} (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют).В большинстве приложений роль Gi{displaystyle G_{i}} играют коммутативные группы, иногда векторные пространство или алгебры над кольцами.

Связанные определения

• Точные последовательности типа

0⟶A⟶φB⟶ψC⟶0{displaystyle 0longrightarrow A{stackrel {varphi }{longrightarrow }}B{stackrel {psi }{longrightarrow }}Clongrightarrow 0} 

называются короткими точными последовательностями, в этом случае φ{displaystyle varphi }  — мономорфизм, а ψ{displaystyle psi }  — эпиморфизм.

• Если у φ{displaystyle varphi }  есть правый обратный или у ψ{displaystyle psi }  левый обратный морфизм, то B{displaystyle B}  можно отождествить с A⊕C{displaystyle Aoplus C}  таким образом, что A{displaystyle A}  и C{displaystyle C}  отображаются в A{displaystyle A}  и C{displaystyle C}  тождественным образом. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.
• Если Imφi⊂Kerφi+1,{displaystyle mathrm {Im} ,varphi _{i}subset mathrm {Ker} ,varphi _{i+1},}  то последовательность называется полуточной.

Примеры

• В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если F→M→B{displaystyle Fto Mto B}  — расслоение над B{displaystyle B}  со слоем F{displaystyle F} , то следующая последовательность гомотопических групп точна[1]:

…→πn(F)→πn(M)→πn(B)→πn−1(F)→…→π0(F)→π0(M)→π0(B){displaystyle ldots to pi _{n}(F)to pi _{n}(M)to pi _{n}(B)to pi _{n-1}(F)to ldots to pi _{0}(F)to pi _{0}(M)to pi _{0}(B)} 

• Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

⋯→Hn+1(X)→∂∗Hn(A∩B)→(i∗,j∗)Hn(A)⊕Hn(B)→k∗−l∗Hn(X)→∂∗→∂∗Hn−1(A∩B)→⋯→H0(A)⊕H0(B)→k∗−l∗H0(X)→0.{displaystyle {begin{aligned}cdots rightarrow H_{n+1}(X),&{xrightarrow {partial _{*}}},H_{n}(Acap B),{xrightarrow {(i_{*},j_{*})}},H_{n}(A)oplus H_{n}(B),{xrightarrow {k_{*}-l_{*}}},H_{n}(X){xrightarrow {partial _{*}}}\&quad {xrightarrow {partial _{*}}},H_{n-1}(Acap B)rightarrow cdots rightarrow H_{0}(A)oplus H_{0}(B),{xrightarrow {k_{*}-l_{*}}},H_{0}(X)rightarrow ,0.end{aligned}}} 

• Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
• Пусть E→X{displaystyle Eto X}  — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана[2] короткая точная последовательность расслоений

0⟶VX⟶TE⟶HX⟶0{displaystyle 0longrightarrow VXlongrightarrow TElongrightarrow HXlongrightarrow 0} 

и двойственная к ней

0⟵V∗X⟵T∗E⟵H∗X⟵0{displaystyle 0longleftarrow V^{*}Xlongleftarrow T^{*}Elongleftarrow H*Xlongleftarrow 0} 

Здесь TE{displaystyle TE}  — касательное расслоение к многообразию E{displaystyle E} , VX{displaystyle VX}  и HX{displaystyle HX}  — вертикальное и горизонтальное расслоения к X{displaystyle X}  соответственно. ∗{displaystyle ^{*}}  обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

Литература

1. ↑ Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.
2. ↑ Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.