Теорема Хопфа — Ринова

Для улучшения этой статьи желательно:

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Теорема Хопфа ― Ринова утверждает, что для риманова многообразия M{displaystyle M} $M$ следующие утверждения эквивалентны:

M{displaystyle M} $M$ ― полно (т.е. риманово многообразие полное как метрическое пространство);
для каждой точки p∈M{displaystyle pin M} $pin M$ экспоненциальное отображение expp:Tp→M{displaystyle exp_{p}:T_{p}to M} ${displaystyle exp_{p}:T_{p}to M}$ определено на всем Tp{displaystyle T_{p}} $T_{p}$ (где Tp{displaystyle T_{p}} $T_{p}$ ― касательное пространство к M{displaystyle M} $M$ в точке p{displaystyle p} $p$ );
каждое ограниченное в M{displaystyle M} $M$ замкнутое множество компактно.

Содержание

Следствия

любые две точки p и q в полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между p и q;
любая геодезическая в полном римановом многообразии неограниченно продолжаема.

Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.