Теорема Уитни о вложении утверждает что
|
Произвольное гладкое m{displaystyle m}-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в 2m{displaystyle 2m}-мерное евклидово пространство.Шаблон:/рамкаЭтот результат оптимален, например, если m{displaystyle m} — степень двойки, то m{displaystyle m}-мерное проективное пространствоневозможно вложить в (2m−1){displaystyle (2m-1)}-мерное евклидово пространство. СодержаниеО доказательствеСлучаи m=1{displaystyle m=1} и m=2{displaystyle m=2} «делаются руками».В случае m⩾3{displaystyle mgeqslant 3} легко видеть что гладкое отображение общего положения f:M→R2m{displaystyle fcolon Mto mathbb {R} ^{2m}} является погружением с трансверсальными самопересечениями.Чтобы избавится от этих самопересечений, следует применить несколько раз трюк Уитни: Трюк УитниПусть p∈R2m{displaystyle pin mathbb {R} ^{2m}} есть точка самопересечения и x,y∈M{displaystyle x,yin M} такие, что f(x)=f(y)=p{displaystyle f(x)=f(y)=p}.Соединим x{displaystyle x} и y{displaystyle y} гладкой кривой c:[0,1]→M.{displaystyle ccolon [0,1]to M.}Тогда f∘c{displaystyle fcirc c} есть замкнутая кривая в R2m{displaystyle mathbb {R} ^{2m}}.Построим отображение h:D2→R2m{displaystyle hcolon D^{2}to mathbb {R} ^{2m}} с границей f∘c{displaystyle fcirc c}. В общем положении, h{displaystyle h} является вложением (как раз здесь мы используем то, что m⩾3{displaystyle mgeqslant 3}).Тогда можно продеформировать h{displaystyle h} в маленькой окрестности h(D2){displaystyle h(D^{2})} так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, как только представляешь эту картинку. Вариации и обобщенияПусть M{displaystyle M} есть гладкое m{displaystyle m}-мерное многообразие.
Литература
|
-мерное 
-мерное 
-мерное евклидово пространство.
и m=2{displaystyle m=2}
«делаются руками».В случае m⩾3{displaystyle mgeqslant 3}
легко видеть что гладкое отображение общего положения f:M→R2m{displaystyle fcolon Mto mathbb {R} ^{2m}}
является 
есть точка самопересечения и x,y∈M{displaystyle x,yin M}
такие, что f(x)=f(y)=p{displaystyle f(x)=f(y)=p}
.Соединим x{displaystyle x}
и y{displaystyle y}
гладкой кривой c:[0,1]→M.{displaystyle ccolon [0,1]to M.}![ccolon [0,1]to M.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2140903829dc5c19ea4775e17bd43b4090aca3c2)
Тогда f∘c{displaystyle fcirc c}
есть замкнутая кривая в R2m{displaystyle mathbb {R} ^{2m}}
.Построим отображение h:D2→R2m{displaystyle hcolon D^{2}to mathbb {R} ^{2m}}
с границей f∘c{displaystyle fcirc c}
является вложением (как раз здесь мы используем то, что m⩾3{displaystyle mgeqslant 3}
так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, как только представляешь эту картинку.
есть гладкое m{displaystyle m}
, то M{displaystyle M}
, то M{displaystyle M}
