wiki

Теорема Уитни о вложении

Теорема Уитни о вложении утверждает что

Произвольное гладкое m{displaystyle m}-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в 2m{displaystyle 2m}-мерное евклидово пространство.Шаблон:/рамкаЭтот результат оптимален, например, если m{displaystyle m} — степень двойки, то m{displaystyle m}-мерное проективное пространствоневозможно вложить в (2m−1){displaystyle (2m-1)}-мерное евклидово пространство.

Содержание

О доказательстве

Случаи m=1{displaystyle m=1} и m=2{displaystyle m=2} «делаются руками».В случае m⩾3{displaystyle mgeqslant 3} легко видеть что гладкое отображение общего положения f:M→R2m{displaystyle fcolon Mto mathbb {R} ^{2m}} является погружением с трансверсальными самопересечениями.Чтобы избавится от этих самопересечений, следует применить несколько раз трюк Уитни:

Трюк Уитни

Пусть p∈R2m{displaystyle pin mathbb {R} ^{2m}} есть точка самопересечения и x,y∈M{displaystyle x,yin M} такие, что f(x)=f(y)=p{displaystyle f(x)=f(y)=p}.Соединим x{displaystyle x} и y{displaystyle y} гладкой кривой c:[0,1]→M.{displaystyle ccolon [0,1]to M.}Тогда f∘c{displaystyle fcirc c} есть замкнутая кривая в R2m{displaystyle mathbb {R} ^{2m}}.Построим отображение h:D2→R2m{displaystyle hcolon D^{2}to mathbb {R} ^{2m}} с границей f∘c{displaystyle fcirc c}.

В общем положении, h{displaystyle h} является вложением (как раз здесь мы используем то, что m⩾3{displaystyle mgeqslant 3}).Тогда можно продеформировать h{displaystyle h} в маленькой окрестности h(D2){displaystyle h(D^{2})} так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, как только представляешь эту картинку.

Вариации и обобщения

Пусть M{displaystyle M} есть гладкое m{displaystyle m}-мерное многообразие.

  • Если m{displaystyle m} не является степенью двойки, тогда существует вложение M{displaystyle M} в R2m−1{displaystyle mathbb {R} ^{2m-1}}
  • Если m>1{displaystyle m>1}, то M{displaystyle M} может быть погружено в R2m−1{displaystyle mathbb {R} ^{2m-1}}
    • Если ещё m≡1(mod4){displaystyle mequiv 1{pmod {4}}}, то M{displaystyle M} может быть погружено в R2m−2{displaystyle mathbb {R} ^{2m-2}}

Литература
Читайте также