wiki

Тензор электромагнитного поля

Разделы:

.ts-Боковая_навигационная_таблица-preTitle{padding-top:0}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-image{padding:0.4em 0 0.4em}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-title{padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:125%;line-height:1.15em;font-weight:bold;background:#cfe3ff}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-above,.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-below{padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-weight:bold}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-heading{padding:0.2em 0;font-weight:bold;background:#eaf3ff}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-list{padding:0.2em 0}]]>

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный, дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Выражение для компонент
4 Применение
5 Литература

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

Fik=∂Ak∂xi−∂Ai∂xk{displaystyle mathrm {F} _{ik}={frac {partial A_{k}}{partial x^{i}}}-{frac {partial A_{i}}{partial x^{k}}}}

{displaystyle mathrm {F} _{ik}={frac {partial A_{k}}{partial x^{i}}}-{frac {partial A_{i}}{partial x^{k}}}}

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

Fik=∂Ak∂xi−∂Ai∂xk=∇iAk−∇kA
i{displaystyle mathrm {F} _{ik}={frac {partial A_{k}}{partial x^{i}}}-{frac {partial A_{i}}{partial x^{k}}}=nabla _{i}A_{k}-nabla _{k}A_{i}}

{displaystyle mathrm {F} _{ik}={frac {partial A_{k}}{partial x^{i}}}-{frac {partial A_{i}}{partial x^{k}}}=nabla _{i}A_{k}-nabla _{k}A_{i}}

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на конфигурационном многообразии, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

F=dA{displaystyle F=mathbf {d} A}

F={mathbf d}A

Отсюда также очевидна его ковариантность.

Свойства

Fik{displaystyle F_{ik}} ${displaystyle F_{ik}}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

FikFik=B2−E2=inv{displaystyle F^{ik}F_{ik}=B^{2}-E^{2}=inv}

{displaystyle F^{ik}F_{ik}=B^{2}-E^{2}=inv}

εiklmFikFlm=(E;B)=inv{displaystyle varepsilon ^{iklm}F_{ik}F_{lm}=left(mathbf {E} ;mathbf {B} right)=inv}

{displaystyle varepsilon ^{iklm}F_{ik}F_{lm}=left(mathbf {E} ;mathbf {B} right)=inv}

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

Fik=(0ExEyEz−Ex0−BzBy−EyBz0−Bx−Ez−ByBx0){displaystyle F_{ik}=left({begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}}right)}

{displaystyle F_{ik}=left({begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}}right)}

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

Fik=(E,B){displaystyle F_{ik}=left(mathbf {E} ,mathbf {B} right)}

{displaystyle F_{ik}=left(mathbf {E} ,mathbf {B} right)}

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

Fik=(0−Ex−Ey−EzEx0−BzByEyBz0−BxEz−ByBx0){displaystyle F^{ik}=left({begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}}right)}

{displaystyle F^{ik}=left({begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}}right)}

что обозначается как

Fik=(−E,B){displaystyle F^{ik}=left(-mathbf {E} ,mathbf {B} right)}

{displaystyle F^{ik}=left(-mathbf {E} ,mathbf {B} right)}

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае нелинейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

Ex=Ex′, Ey=Ey′+VcBz′1−V2c2, Ez=Ez′−VcBy′1−V2c2{displaystyle E_{x}=E_{x}^{prime },~~~E_{y}={frac {E_{y}^{prime }+{V over c}B_{z}^{prime }}{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}},~~~E_{z}={frac {E_{z}^{prime }-{V over c}B_{y}^{prime }}{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}}}

E_{x}=E_{x}^{prime },~~~E_{y}={frac {E_{y}^{prime }+{V over c}B_{z}^{prime }}{{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}}},~~~E_{z}={frac {E_{z}^{prime }-{V over c}B_{y}^{prime }}{{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}}}

Bx=Bx′, By=By′−VcEz′1−V2c2, Bz=Bz′+VcEy′1−V2c2{displaystyle B_{x}=B_{x}^{prime },~~~B_{y}={frac {B_{y}^{prime }-{V over c}E_{z}^{prime }}{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}},~~~B_{z}={frac {B_{z}^{prime }+{V over c}E_{y}^{prime }}{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}}}

B_{x}=B_{x}^{prime },~~~B_{y}={frac {B_{y}^{prime }-{V over c}E_{z}^{prime }}{{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}}},~~~B_{z}={frac {B_{z}^{prime }+{V over c}E_{y}^{prime }}{{sqrt {1-{V^{2} over c^{2}}}}}}

Применение

Непосредственно из определения следует, что

dF=0{displaystyle mathbf {d} F=0}

{mathbf d}F=0

В компонентах это выражение принимает вид

εijkm∂Fij∂xk=∂Fij∂xk+∂Fjk∂xi+∂Fki∂xj=0{displaystyle varepsilon _{ijkm}{frac {partial F_{ij}}{partial x^{k}}}={frac {partial F_{ij}}{partial x^{k}}}+{frac {partial F_{jk}}{partial x^{i}}}+{frac {partial F_{ki}}{partial x^{j}}}=0}

{displaystyle varepsilon _{ijkm}{frac {partial F_{ij}}{partial x^{k}}}={frac {partial F_{ij}}{partial x^{k}}}+{frac {partial F_{jk}}{partial x^{i}}}+{frac {partial F_{ki}}{partial x^{j}}}=0}

где εijkm{displaystyle varepsilon _{ijkm}}

${displaystyle varepsilon _{ijkm}}$ — символ Леви — Чивиты для 4-хмерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла: