Сюръекция (сюръективное отображение, от фр. sur — «на», «над» лат. jactio — «бросаю») — отображение множества X{displaystyle X} на множество Y{displaystyle Y} (f:X→Y){displaystyle (f:Xto Y)}, при котором каждый элемент множества Y{displaystyle Y} является образом хотя бы одного элемента множества X{displaystyle X}, то есть ∀y∈Y∃x∈X:y=f(x){displaystyle forall yin Yexists xin X:y=f(x)}, иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} отображает X{displaystyle X} на Y{displaystyle Y} (в противоположность инъективному отображению, которое отображает X{displaystyle X} в Y{displaystyle Y}).
на множество Y{displaystyle Y}
(f:X→Y){displaystyle (f:Xto Y)}
, при котором каждый 
, иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}
отображает X{displaystyle X}
Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.
Содержание
Свойства
Отображение f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}
сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества X{displaystyle X} при отображении f{displaystyle f} совпадает с Y{displaystyle Y} : f(X)=Y{displaystyle f(X)=Y} . Также сюръективность функции f{displaystyle f} эквивалентна существованию правого обратного отображения, то есть такого отображения g:Y→X{displaystyle g:Yto X} , что f(g(y))=y{displaystyle f(g(y))=y} для любого y∈Y{displaystyle yin Y} (в функциональных обозначениях — f∘g=IdY{displaystyle fcirc g=mathbf {Id} _{Y}} ).
совпадает с Y{displaystyle Y}
. Также сюръективность функции f{displaystyle f}
, что f(g(y))=y{displaystyle f(g(y))=y}
для любого y∈Y{displaystyle yin Y}
(в функциональных обозначениях — f∘g=IdY{displaystyle fcirc g=mathbf {Id} _{Y}}
).Примеры
- f:R→[−1;1],f(x)=sinx{displaystyle f:mathbb {R} to [-1;;1],;f(x)=sin x} — сюръективно.
- f:R→R+,f(x)=x2{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} _{+},;f(x)=x^{2}} — сюръективно.
- f:R→R,f(x)=x2{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} ,;f(x)=x^{2}} — не является сюръективным (например, не существует такого x∈R{displaystyle xin mathbb {R} } , что f(x)=−9{displaystyle f(x)=-9} ).
![f:mathbb {R} to [-1;;1],;f(x)=sin x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ac35d7801623257fa7bdf1fb89c875ed4275a7)
— сюръективно.
— сюръективно.
— не является сюръективным (например, не существует такого x∈R{displaystyle xin mathbb {R} }
, что f(x)=−9{displaystyle f(x)=-9}
).Использование
В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоенного пространства в базу расслоения).
Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных — также может быть рассмотрена как сюръективная функция.
В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом во многих категориях эти понятия совпадают, но в общем
случае это не так.
Литература
- Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов.
- Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.
Для улучшения этой статьи желательно:
После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки. |
