Софокусные конические сечения

Разделы:

Софокусные конические сечения — в геометрии конические сечения, обладающие одними и теми же фокусами. Поскольку эллипсы и гиперболы обладают двумя фокусами, то существуют софокусные эллипсы и софокусные гиперболы, а также эллипс и гиперболы могут быть софокусными друг другу. В том случае, когда семейство эллипсов софокусно семейству гипербол, каждый эллипс ортогонально пересекает каждую гиперболу. Параболы обладают только одним фокусом, поэтому принять считать софокусными те параболы, которые имеют общий фокус и одну и ту же ось симметрии. Следовательно, любая точка вне оси симметрии лежит на двух софокусных параболах, пересекающих друг друга под прямым углом.

Пучок софокусных эллипсов и гипербол.

Понятие софокусных конических сечений можно обобщить на трёхмерное пространство, рассматривая софокусные квадрики.

Содержание

1 Софокусные эллипсы
2 Софокусные гиперболы
3 Софокусные эллипсы и гиперболы
4 Софокусные параболы
5 Теорема Грейвса о построении софокусных эллипсов
6 Софокусные поверхности второго порядка
7 Теорема Айвори
8 Примечания
9 Литература
10 Ссылки

Софокусные эллипсы

Эллипс, не являющийся окружностью, однозначно определяется положением фокусов F1,F2{displaystyle F_{1},;F_{2}}

${displaystyle F_{1},;F_{2}}$ и точкой вне большой оси. Пучок софокусных эллипсов с фокусами F1=(c,0),F2=(−c,0){displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)} ${displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)}$ можно описать уравнением

x2a2+y2a2−c2=1 ,a>c ,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1 ,quad a>c ,} ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1 ,quad a>c ,}$

в котором большая полуось a{displaystyle a}

$a$ является параметром (фокальное расстояние c{displaystyle c} $c$ однозначно определяется расположением фокусов).Поскольку точка на эллипсе однозначно задаёт значение a{displaystyle a} $a$ , то

никакие два эллипса в пучке не имеют общих точек.

Софокусные гиперболы

Гипербола однозначно определяется положением фокусов F1,F2{displaystyle F_{1},;F_{2}}

${displaystyle F_{1},;F_{2}}$ и точкой вне осей симметрии. Пучок софокусных гипербол с фокусами F1=(c,0),F2=(−c,0){displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)} ${displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)}$ можно описать уравнением

x2a2−y2c2−a2=1 ,0<a<c ,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1 ,quad 0<a<c ,} ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1 ,quad 0<a<c ,}$

в котором большая полуось a{displaystyle a}

$a$ является параметром (фокальное расстояние c{displaystyle c} $c$ однозначно определяется расположением фокусов).Поскольку точка на гиперболе однозначно задаёт значение a{displaystyle a} $a$ , то

никакие две гиперболы в пучке не имеют общих точек.

Софокусные эллипсы и гиперболы

Уравнение

x2a2+y2a2−c2=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1} ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}$

описывает эллипс при c<a{displaystyle c<a}

${displaystyle c<a}$ и гиперболу при 0<a<c{displaystyle 0<a<c} ${displaystyle 0<a<c}$ .

В литературе можно найти другой вариант представления:

x2a2−λ+y2b2−λ=1 ,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}-lambda }}=1 ,} ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}-lambda }}=1 ,}$

Софокусные эллипсы и гиперболы пересекаются под прямыми углами

где a,b{displaystyle a,b}

$a,b$ — полуоси данного эллипса (тогда и фокусы F1,F2{displaystyle F_{1},;F_{2}} ${displaystyle F_{1},;F_{2}}$ заданы) и λ{displaystyle lambda } $lambda$ является параметром пучка.
При λ<b2{displaystyle lambda <b^{2}} ${displaystyle lambda <b^{2}}$ мы получаем софокусные эллипсы (то есть a2−λ−(b2−λ)=c2{displaystyle a^{2}-lambda -(b^{2}-lambda )=c^{2}} ${displaystyle a^{2}-lambda -(b^{2}-lambda )=c^{2}}$ ) и
при b2<λ<a2{displaystyle b^{2}<lambda <a^{2}} ${displaystyle b^{2}<lambda <a^{2}}$ получаем софокусные гиперболы с фокусами F1,F2{displaystyle F_{1},;F_{2}} ${displaystyle F_{1},;F_{2}}$ .

Рассмотрение пучков софокусных эллипсов и гипербол приводит к следующему выводу о касательной и нормали в заданной точке (нормаль к эллипсу и касательная к гиперболе делят пополам угол между направлениями из точки к фокусам):

каждый эллипс в пучке пересекает каждую гиперболу под прямым углом (см. рисунок).

Таким образом, можно покрыть плоскость ортогональной системой софокусных эллипсов и гипербол. Такую ортогональную сетку можно использовать как основу эллиптической системы координат.

Софокусные параболы

Пучок софокусных парабол

Параболы обладают только одним фокусом. Можно рассматривать параболу как предел пучка софокусных эллипсов или гипербол, у которых один фокус зафиксирован, а второй удаляется на бесконечность. Если подобное рассмотрение провести для софокусных эллипсов и гипербол, можно получить систему из двух пучков софокусных парабол.

Уравнение y2=2p(x+p/2)=2px+p2{displaystyle y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}}

${displaystyle y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}}$ описывает параболу с началом координат в фокусе, при этом ось x является осью симметрии. Рассмотрим два пучка парабол:

y2=2px+p2 ,p>0 ,{displaystyle y^{2}=2px+p^{2} ,quad p>0 ,} ${displaystyle y^{2}=2px+p^{2} ,quad p>0 ,}$ параболы, бесконечные в правую сторону,

y2=−2qx+q2 ,q>0 ,{displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2} ,quad q>0 ,}

{displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2} ,quad q>0 ,}

параболы, бесконечные в левую сторону,

фокус F=(0,0){displaystyle F=(0,0)}

{displaystyle F=(0,0)}

является общим.

Из уравнения параболы следует, что

параболы, простирающиеся в одну сторону, не имеют общих точек.

Вычисления показывают, что

любая парабола y2=2px+p2{displaystyle y^{2}=2px+p^{2}} ${dis playstyle y^{2}=2px+p^{2}}$ , простирающаяся направо, пересекает каждую параболу y2=−2qx+q2{displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2}} ${displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2}}$ , простирающуюся налево, ортогонально. Точки пересечения имеют координаты (q−p2,±pq) {displaystyle ({tfrac {q-p}{2}},pm {sqrt {pq}}) } ${displaystyle ({tfrac {q-p}{2}},pm {sqrt {pq}}) }$ .

Векторы (n→1=(p,∓pq)T, n→2=(q,±pq)T){displaystyle {vec {n}}_{1}=left(p,mp {sqrt {pq}}right)^{T}, {vec {n}}_{2}=left(q,pm {sqrt {pq}}right)^{T})}

${displaystyle {vec {n}}_{1}=left(p,mp {sqrt {pq}}right)^{T}, {vec {n}}_{2}=left(q,pm {sqrt {pq}}right)^{T})}$ являются векторами нормали в точках пересечения. Скалярное произведение данных векторов равно нулю.

По аналогии с софокусными эллипсами и гиперболами, плоскость можно покрыть ортогональной сеткой парабол.

Теорема Грейвса о построении софокусных эллипсов

Построение софокусных эллипсов

В 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью нити:[1]

если окружить данный эллипс E кольцом из нити, превышающей по длине контур данного эллипса, нарисуем новый эллипс с помощью закреплённых в фокусах «иголок» (см. построение эллипса), при этом новый эллипс будет софокусным с E. Доказательство данного утверждения требует использования эллиптических интегралов. Отто Штауде обобщил данный метод для построения софокусных эллипсоидов.

Если эллипс E представляет собой отрезок F1F2{displaystyle F_{1}F_{2}}

$F_{1}F_{2}$ , то софокусные ему эллипсы будут обладать фокусами F1,F2{displaystyle F_{1},F_{2}} ${displaystyle F_{1},F_{2}}$ .

Софокусные поверхности второго порядка

Софокусные квадрики:
a=1,b=0.8,c=0.6, {displaystyle a=1,b=0.8,c=0.6, } ${displaystyle a=1,b=0.8,c=0.6, }$
λ1={displaystyle lambda _{1}=} ${displaystyle lambda _{1}=}$ 0.1, λ2={displaystyle lambda _{2}=} ${displaystyle lambda _{2}=}$ 0.5, λ3={displaystyle lambda _{3}=} ${displaystyle lambda _{3}=}$ 0.8

Понятие софокусных поверхностей второго порядка является формальным обобщением понятия софокусных конических сечений на трёхмерное пространство.

Выберем три вещественных числа a,b,c{displaystyle a,b,c}

${displaystyle a,b,c}$ при условии a>b>c>0{displaystyle a>b>c>0} ${displaystyle a>b>c>0}$ .Уравнение

x2a2−λ+y2b2−λ+z2c2−λ=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z^{2}}{c^{2}-lambda }}=1} ${displaystyle {f rac {x^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z^{2}}{c^{2}-lambda }}=1}$ описывает

эллипсоид при λ<c2{displaystyle lambda <c^{2}}

{displaystyle lambda <c^{2}}

однополостный гиперболоид при c2<λ<b2{displaystyle c^{2}<lambda <b^{2}}

{displaystyle c^{2}<lambda <b^{2}}

(синяя поверхность на рисунке),

двуполостный гиперболоид при b2<λ<a2{displaystyle b^{2}<lambda <a^{2}}

{displaystyle b^{2}<lambda <a^{2}}

При a2<λ{displaystyle a^{2}<lambda }

{displaystyle a^{2}<lambda }

решений не существует

(В данном контексте параметр c{displaystyle c}

$c$ не является фокальным расстоянием эллипсоида).

Аналогично случаю софокусных эллипсов/гипербол имеем свойства:

любая точка (x0,y0,z0)∈R3{displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})in mathbb {R} ^{3}} ${displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})in mathbb {R} ^{3}}$ при x0≠0,y0≠0,z0≠0{displaystyle x_{0}neq 0,;y_{0}neq 0,;z_{0}neq 0} ${displaystyle x_{0}neq 0,;y_{0}neq 0,;z_{0}neq 0}$ лежит только на одной поверхности каждого из трёх видов софокусных квадрик;

три поверхности второго порядка, проходящие через точку (x0,y0,z0){displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}

{displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}

, пересекаются ортогонально

Пример функции f(λ){displaystyle f(lambda )} $f(lambda )$

Доказательство существования и единственности трёх квадрик, проходящих через данную точку:для точки (x0,y0,z0){displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}

$(x_{0},y_{0},z_{0})$ при x0≠0,y0≠0,z0≠0{displaystyle x_{0}neq 0,y_{0}neq 0,z_{0}neq 0} ${displaystyle x_{0}neq 0,y_{0}neq 0,z_{0}neq 0}$ рассмотрим функцию

f(λ)=x02a2−λ+y02b2−λ+z02c2−λ−1{displaystyle f(lambda )={frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-lambda }}-1}

{displaystyle f(lambda )={frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-lambda }}-1}

Данная функция имеет три вертикальные асимптоты c2<b2<a2{displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}

${displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$ и является непрерывной и монотонно возрастающей во всех интервалах (−∞,c2),(c2,b2),(b2,a2),(a2,∞){displaystyle (-infty ,c^{2}),;(c^{2},b^{2}),;(b^{2},a^{2}),;(a^{2},infty )} ${displaystyle (-infty ,c^{2}),;(c^{2},b^{2}),;(b^{2},a^{2}),;(a^{2},infty )}$ .Анализ поведения функции вблизи вертикальных асимптот и при λ→±∞{displaystyle lambda to pm infty } ${displaystyle lambda to pm infty }$ приводит к выводу о том, что f{displaystyle f} $f$ имеет три корня λ1,λ2,λ3{displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}} ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}}$ при λ1<c2<λ2<b2<λ3<a2 .{displaystyle {color {red}lambda _{1}}<c^{2}<{color {red}lambda _{2}}<b^{2}<{color {red}lambda _{3}}<a^{2} .} ${displaystyle {color {red}lambda _{1}}<c^{2}<{color {red}lambda _{2}}<b^{2}<{color {red}lambda _{3}}<a^{2} .}$

Доказательство ортогональности поверхностей: рассмотрим пучки функций Fλ(x,y,z)=x2a2−λ+y2b2−λ+z2c2−λ{displaystyle F_{lambda }(x,y,z)={frac {x^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z^{2}}{c^{2}-lambda }}}

${displaystyle F_{lambda }(x,y,z)={frac {x^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z^{2}}{c^{2}-lambda }}}$ с параметром λ{displaystyle lambda } $lambda$ . Софокусные квадрики можно описать соотношением Fλ(x,y,z)=1{displaystyle F_{lambda }(x,y,z)=1} ${displaystyle F_{lambda }(x,y,z)=1}$ . Для любых двух пересекающихся квадрик при Fλi(x,y,z)=1,Fλk(x,y,z)=1{displaystyle F_{lambda _{i}}(x,y,z)=1,;F_{lambda _{k}}(x,y,z)=1} ${displaystyle F_{lambda _{i}}(x,y,z)=1,;F_{lambda _{k}}(x,y,z)=1}$ в общей точке (x,y,z){displaystyle (x,y,z)} $(x,y,z)$ выполняется равенство

0=Fλi(x,y,z)−Fλk(x,y,z)=⋯=(λi−λk)(x2(a2−λi)(a2−λk)+y2(b2−λi)(b2−λk)+z2(c2−λi)(c2−λk)) .{displaystyle 0=F_{lambda _{i}}(x,y,z)-F_{lambda _{k}}(x,y,z)=dotsb =(lambda _{i}-lambda _{k})left({frac {x^{2}}{(a^{2}-lambda _{i})(a^{2}-lambda _{k})}}+{frac {y^{2}}{(b^{2}-lambda _{i})(b^{2}-lambda _{k})}}+{frac {z^{2}}{(c^{2}-lambda _{i})(c^{2}-lambda _{k})}}right) .}

{displaystyle 0=F_{lambda _{i}}(x,y,z)-F_{lambda _{k}}(x,y,z)=dotsb =(lambda _{i}-lambda _{k})left({frac {x^{2}}{(a^{2}-lambda _{i})(a^{2}-lambda _{k})}}+{frac {y^{2}}{(b^{2}-lambda _{i})(b^{2}-lambda _{k})}}+{frac {z^{2}}{(c^{2}-lambda _{i})(c^{2}-lambda _{k})}}right) .}

Отсюда скалярное произведение градиентов в общей точке

grad⁡Fλi⋅grad⁡Fλk=4(x2(a2−λi)(a2−λk)+y2(b2−λi)(b2−λk)+z2(c2−λi)(c2−λk))=0 ,{displaystyle operatorname {grad} F_{lambda _{i}}cdot operatorname {grad} F_{lambda _{k}}=4;left({frac {x^{2}}{(a^{2}-lambda _{i})(a^{2}-lambda _{k})}}+{frac {y^{2}}{(b^{2}-lambda _{i})(b^{2}-lambda _{k})}}+{frac {z^{2}}{(c^{2}-lambda _{i})(c^{2}-lambda _{k})}}right)=0 ,}

{displaystyle operatorname {grad} F_{lambda _{i}}cdot operatorname {grad} F_{lambda _{k}}=4;left({frac {x^{2}}{(a^{2}-lambda _{i})(a^{2}-lambda _{k})}}+{frac {y^{2}}{(b^{2}-lambda _{i})(b^{2}-lambda _{k})}}+{frac {z^{2}}{(c^{2}-lambda _{i})(c^{2}-lambda _{k})}}right)=0 ,}

что доказывает ортогональность.

Эллипсоид с линиями кривизны как линиями пересечения с софокусными гиперболоидами
a=1,b=0.8,c=0.6{displaystyle a=1,;b=0.8,;c=0.6} ${displaystyle a=1,;b=0.8,;c=0.6}$

Приложения.
По теореме Ш. Дюпена об ортогональных системах поверхностей следующие утверждения является справедливым:

линия пересечения любых двух софокусных поверхностей второго порядка является линией кривизны;
по аналогии с эллиптическими координатами можно ввести эллипсоидальные координаты.

В физике софокусные эллипсоиды являются эквипотенциальными поверхностями:

эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида являются софокусными к данному эллипсоидами.[2]

Теорема Айвори

Теорема Айвори, названная по имени шотландского математика Джеймса Айвори (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях четырёхугольника, образованного ортогональными кривыми.

В любом четырёхугольнике, образованном двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с теми же фокусами, диагонали имеют равные длины.

Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы
Пусть E(a){displaystyle E(a)}

$E(a)$ — эллипс с фокусами F1=(c,0),F2=(−c,0){displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)} ${displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)}$ , задаваемый уравнением

x2a2+y2a2−c2=1 ,a>c>0, {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1 ,quad a>c>0, }

{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1 ,quad a>c>0, }

а H(u){displaystyle H(u)}

${displaystyle H(u)}$ — софокусная гипербола с уравнением

x2u2+y2u2−c2=1 ,c>u .{displaystyle {frac {x^{2}}{u^{2}}}+{frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1 ,quad c>u .}

{displaystyle {frac {x^{2}}{u^{2}}}+{frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1 ,quad c>u .}

Вычисление точек пересечения E(a){displaystyle E(a)}

$E(a)$ и H(u){displaystyle H(u)} ${displaystyle H(u)}$ даёт координаты четырёх точек

(±auc,±(a2−c2)(c2−u2)c).{displaystyle left(pm {frac {au}{c}},;pm {frac {sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}right).} ${displaystyle left(pm {frac {au}{c}},;pm {frac {sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}right).}$

Диагонали четырёхугольника
Для упрощения вычислений предположим, что

c=1{displaystyle c=1} $c=1$ , что не является существенным ограничением, поскольку возможно изменение масштаба;
при выборе знака ±{displaystyle pm } $pm$ (см. пункт о точках пересечения) будем рассматривать только +{displaystyle +} $+$ . Несложно показать, что выбор другого знака приведёт к тому же результату.

Пусть E(a1),E(a2){displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}

${displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$ являются софокусными эллипсами, а H(u1),H(u2){displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})} ${displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$ являются софокусными гиперболами с теми же фокусами. Диагонали четырёхугольника, образованного точками пересечения с координатами

P11=(a1u1,(a12−1)(1−u12)) ,P22=(a2u2,(a22−1)(1−u22)) ,{displaystyle P_{11}=left(a_{1}u_{1},;{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}right) ,quad P_{22}=left(a_{2}u_{2},;{sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}right) ,}

{displaystyle P_{11}=left(a_{1}u_{1},;{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}right) ,quad P_{22}=left(a_{2}u_{2},;{sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}right) ,}

P12=(a1u2,(a12−1)(1−u22)) ,P21=(a2u1,(a22−1)(1−u12)){displaystyle P_{12}=left(a_{1}u_{2},;{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}right) ,quad P_{21}=left(a_{2}u_{1},;{sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}right)}

{displaystyle P_{12}=left(a_{1}u_{2},;{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}right) ,quad P_{21}=left(a_{2}u_{1},;{sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}right)}

имеют длины

|P11P22|2=(a2u2−a1u1)2+((a22−1)(1−u22)−(a12−1)(1−u12))2=⋯=a12+a22+u12+u22−2(1+a1a2u1u2+(a12−1)(a22−1)(1−u12)(1−u22)){displaystyle {begin{aligned}|P_{11}
P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+left({sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}right)^{2}=dotsb \&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2,left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}right)end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+left({sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}right)^{2}=dotsb \&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2,left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}right)end{aligned}}}

Последнее выражение является инвариантом по отношению к замене u1↔u2{displaystyle u_{1}leftrightarrow u_{2}}

${displaystyle u_{1}leftrightarrow u_{2}}$ . Подобная замена приводит к выражению для длины |P12P21|2{displaystyle |P_{1color {red}2}P_{2color {red}1}|^{2}} ${displaystyle |P_{1color {red}2}P_{2color {red}1}|^{2}}$ . Следовательно, имеет место равенство

|P11P22|=|P12P21|{displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|} ${displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$

Доказательство утверждения для софокусных парабол представляет собой несложные расчёты.

Айвори также доказал теорему для трёхмерного случая:

у трёхмерного прямоугольного параллелепипеда, образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют равные длины.

Примечания

↑ Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie, Sringer-Verlag, Berlin, 1926, S.32.
↑ D. Fuchs, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9, p. 480.

Литература

W. Blaschke: Analytische Geometrie. Springer, Basel 1954,ISBN 978-3-0348-6813-6, p. 111.
G. Glaeser,H. Stachel,B. Odehnal: The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments, Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7, p. 457.
David Hilbert & Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometry and Imagination, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1998-4
Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlin 1910, p. 257.
A. Robson: An Introduction to Analytical Geometry Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, p. 157.
D.M.Y. Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions, Cambridge, University Press, 1959, p. 235.

Ссылки

T. Hofmann: Miniskript Differentialgeometrie I, p. 48
B. Springborn: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
H. Walser: Konforme Abbildungen. p. 8.