Симплектическое многообразие

• Разделы:
  • Гамильтоновы векторные поля
  • Связанные определения
  • Свойства
  • Контактная структура
  • Вариации и обобщения
  • См. также
  • Литература

Линейное пространство V (вещественное или комплексное) называется симплектическим, если на нем задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма ω{displaystyle omega }.

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной 2-формой.

Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Гамильтоновы векторные поля
• 3 Связанные определения
• 4 Свойства
• 5 Контактная структура
• 6 Вариации и обобщения
• 7 См. также
• 8 Литература

Определение

Дифференциальная 2-форма ω{displaystyle omega }

  называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

dω=0{displaystyle domega =0} 

и для любого касательного вектора v∈TxM{displaystyle vin T_{x}M}

ıvω≠0{displaystyle imath _{v}omega neq 0} 

где ıv{displaystyle imath _{v}}

  — внутреннее умножение на вектор v{displaystyle v} .

Многообразие M{displaystyle M}

  называется симплектическим, если на нём задана симплектическая структура.

Гамильтоновы векторные поля

Пусть H:M→R{displaystyle Hcolon Mto {mathbb {R} }}

  — произвольная функция на симплектическом многообразии. Симплектическая структура ставит в соответствие 1-формам на M{displaystyle M}  особый класс векторных полей, называемых гамильтоновыми, по правилу

dH=ıvω{displaystyle dH=imath _{v}omega } 

В силу невырожденности формы ω{displaystyle omega }

  векторное поле v{displaystyle v}  определено однозначно, обозначим его IdH{displaystyle IdH} . В канонических координатах это отображение принимает вид

q˙=∂H∂p{displaystyle {dot {mathbf {q} }}={frac {partial H}{partial mathbf {p} }}} 

p˙=−∂H∂q{displaystyle {dot {mathbf {p} }}=-{frac {partial H}{partial mathbf {q} }}} 

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом H{displaystyle H}

  называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на M{displaystyle M}  в алгебру Ли и определены по правилу

[F,G]=ω(IdF,IdG){displaystyle [F,G]=omega (IdF,IdG)} 

Связанные определения

• Диффеоморфизм симплектических многообразий f:M→N{displaystyle fcolon Mto N}  называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

Свойства

• Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать канонические координаты, называемые также координатами Дарбу, в которых симплектическая структура принимает вид

ω=dp∧dq{displaystyle omega =dmathbf {p} wedge dmathbf {q} } 

При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.

• Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:

 LIdHω=0{displaystyle L_{IdH},omega =0} 

Здесь Lv{displaystyle L_{v}}  — производная Ли по векторному полю v{displaystyle v} . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Многообразие называется мультисимплектическим степени k{displaystyle k}

 , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также

• Симплектическое пространство

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.