wiki

Сигнатура (линейная алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнатура.

В линейной алгебре сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Содержание

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

x12+x22+⋯+xp2−xp+12−xp+22−⋯−xp+q2.{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2}.} 

Разность p−q{displaystyle p-q}

  между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел (p,q){displaystyle (p,q)}

  или в виде (+⋯+−⋯−){displaystyle (+cdots +-cdots -)}  с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных x1x2{displaystyle x_{1}x_{2}}

  может быть приведена к каноническому виду x~12−x~22,{displaystyle {tilde {x}}_{1}^{2}-{tilde {x}}_{2}^{2},}  например, с помощью линейной замены переменных:

x1=(x~1+x~2),{displaystyle x_{1}=({tilde {x}}_{1}+{tilde {x}}_{2}),}

  x2=(x~1−x~2).{displaystyle x_{2}=({tilde {x}}_{1}-{tilde {x}}_{2}).} 

Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде (1,1){displaystyle (1,1)}

  или в виде (+−).{displaystyle (+-).} 

См. также

Литература

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: М.: Наука, Физматлит, 1999.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
Читайте также