Связность (дифференциальная геометрия)

• Разделы:
  • Типы связностей
  • Связность Леви-Чивиты

Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.

Точнее: Пусть дано гладкое расслоение π:E→B{displaystyle pi :Eto B}, связность есть подрасслоение R{displaystyle R} касательного расслоения TE{displaystyle TE} над E{displaystyle E}, такое что для каждой точки x∈E{displaystyle xin E} проекция

dxπ(Rx)=Tπ(x)B{displaystyle d_{x}pi (R_{x})=T_{pi (x)}B}

здесь dxπ{displaystyle d_{x}pi } обозначает дифференциал π{displaystyle pi } в точке x{displaystyle x}.

Связность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.

Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения.В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Типы связностей
  • 2.1 Аффинная связность
• 3 Связность Леви-Чивиты

Примеры

• Связность Леви-Чивиты — аффинная связность, канонически определяемая метрическим
  тензором.

Типы связностей

Аффинная связность

  Аффинная связность на сфере — связь аффинных касательнных пространств в двух точках сферы.

Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.

Пусть M есть гладкое многообразие и C∞(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда, аффинная связность на M это билинейное отображение

C∞(M,TM)×C∞(M,TM)→C∞(M,TM)(X,Y)↦∇XY,{displaystyle {begin{matrix}C^{infty }(M,TM)times C^{infty }(M,TM)&rightarrow &C^{infty }(M,TM)\(X,Y)&mapsto &nabla _{X}Y,end{matrix}}} 

такое, что для любой гладкой функции f ∈ C∞(M,R) и любых вектроных полей X, Y на M:

1. ∇fXY=f∇XY{displaystyle nabla _{fX}Y=fnabla _{X}Y} , то есть, ∇{displaystyle nabla }  линейно по первому аргументу;
2. ∇X(fY)=df(X)Y+f∇XY{displaystyle nabla _{X}(fY)=mathrm {d} f(X)Y+fnabla _{X}Y} , то есть ∇{displaystyle nabla }  удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения

• Кручением афинной связности называется вырожение

  U(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y]{displaystyle U(X,Y)=nabla _{X}Y-nabla _{Y}X-[X,Y]} 

здесь [∗,∗]{displaystyle [{*},{*}]}  — скобки Ли

Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии M{displaystyle M}

 , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность ∇{displaystyle nabla }

  на римановом многообразии (M,g){displaystyle (M,;g)}  называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей X{displaystyle X} , Y{displaystyle Y} , Z{displaystyle Z}  верно
        X(g(Y,Z))=g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ){displaystyle X(g(Y,;Z))=g(nabla _{X}Y,;Z)+g(Y,;nabla _{X}Z)} ,
   где X(g(Y,Z)){displaystyle X(g(Y,;Z))}  обозначает производную g(Y,Z){displaystyle g(Y,Z)}  в направлении X{displaystyle X} .
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей X{displaystyle X}  и Y{displaystyle Y} 
        ∇XY−∇YX−[X,Y]=0{displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X-[X,;Y]=0} ,
   где [X,Y]{displaystyle [X,;Y]}  скобки Ли векторных полей X{displaystyle X}  и Y{displaystyle Y} .

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Связанные определения

• Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.