Полная производная функции

Разделы:
Полная производная функции — производная по t{displaystyle t} $t$ от функции y=f(t,u,v,…,z){displaystyle y=f(t,u,v,dots ,z)} ${displaystyle y=f(t,u,v,dots ,z)}$ , зависящей от переменной t{displaystyle t} $t$ как непосредственно, так и через промежуточные переменные u=u(t,x1,…,xn),v=v(t,x1,…,xn),…,z=z(t,x1,…,xn){displaystyle u=u(t,x_{1},dots ,x_{n}),v=v(t,x_{1},dots ,x_{n}),dots ,z=z(t,x_{1},dots ,x_{n})} ${displaystyle u=u(t,x_{1},dots ,x_{n}),v=v(t,x_{1},dots ,x_{n}),dots ,z=z(t,x_{1},dots ,x_{n})}$ , вычисляемая по формуле
dfdt=∂f∂t+∂f∂u∂u∂t+∂f∂v∂v∂t+⋯+∂f∂z∂z∂t{displaystyle {df over dt}={frac {partial f}{partial t}}+{frac {partial f}{partial u}}{frac {partial u}{partial t}}+{frac {partial f}{partial v}}{frac {partial v}{partial t}}+dots +{frac {partial f}{partial z}}{frac {partial z}{partial t}}} ${displaystyle {df over dt}={frac {partial f}{partial t}}+{frac {partial f}{partial u}}{frac {partial u}{partial t}}+{frac {partial f}{partial v}}{frac {partial v}{partial t}}+dots +{frac {partial f}{partial z}}{frac {partial z}{partial t}}}$ ,
где ∂f∂t,∂f∂u,…,∂f∂z,∂u∂t,…,∂z∂t{displaystyle {frac {partial f}{partial t}},{frac {partial f}{partial u}},dots ,{frac {partial f}{partial z}},{frac {partial u}{partial t}},dots ,{frac {partial z}{partial t}}} ${displaystyle {frac {partial f}{partial t}},{frac {partial f}{partial u}},dots ,{frac {partial f}{partial z}},{frac {partial u}{partial t}},dots ,{frac {partial z}{partial t}}}$ — частные производные.

Например, полная производная функции f(x(t), y(t)):

dfdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt{displaystyle {df over dt}={partial f over partial x}{dx over dt}+{partial f over partial y}{dy over dt}} ${df over dt}={partial f over partial x}{dx over dt}+{partial f over partial y}{dy over dt}$

Здесь нет ∂f∂t{displaystyle {partial f over partial t}} ${partial f over partial t}$ так как f сама по себе не зависит от t.

Материал взят из Математической энциклопедии.