Первый интеграл

• Разделы:
  • Литература

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x),x∈U{displaystyle left{{begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\dots &&\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)end{matrix}}right.,quad xin U}

— дифференцируемая функция f:U→R{displaystyle f:Uto mathbb {R} }, U⊆Rn{displaystyle Usubseteq mathbb {R} ^{n}}, такая, чтоеё производная по направлению векторного поля A(x)=(a1(x),…,an(x)){displaystyle A(x)=(a_{1}(x),ldots ,a_{n}(x))}

LAf=a1(x)∂f∂x1+⋯+an(x)∂f∂xn=0{displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){frac {partial f}{partial x_{1}}}+dots +a_{n}(x){frac {partial f}{partial x_{n}}}=0}

для всех x{displaystyle x} из области U{displaystyle U}.Другими словами, функция f{displaystyle f} постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U{displaystyle U}.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть U{displaystyle U} — область в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, A(x)=(a1(x),…,an(x)){displaystyle A(x)=(a_{1}(x),ldots ,a_{n}(x))} — дифференцируемое векторное поле в U{displaystyle U}, x0∈U{displaystyle x_{0}in U}, A(x0)≠0{displaystyle A(x_{0})neq 0}. Тогда существует такая окрестность точки x0{displaystyle x_{0}}, что система дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x){displaystyle left{{begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\dots &&\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)end{matrix}}right.}

имеет в этой окрестности ровно n−1{displaystyle n-1} функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения x″+V(x)=0{displaystyle x»+V(x)=0}

  относительно функции x(t){displaystyle x(t)}  первым интегралом является функция E=12x′2+∫x0xV(z)dz{displaystyle E={frac {1}{2}}x’^{2}+int limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz}  (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.