Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A{displaystyle A} и B{displaystyle B} обычно обозначается A∪B{displaystyle Acup B}, но иногда можно встретить запись в виде суммы A+B{displaystyle A+B}.
и B{displaystyle B}
обычно обозначается A∪B{displaystyle Acup B}
, но иногда можно встретить запись в виде суммы A+B{displaystyle A+B}
.
Содержание
Определения
Объединение двух множеств
Все не повторяемые числа из множеств A и B.Пусть даны два множества A{displaystyle A}
и B{displaystyle B} . Тогда их объединением называется множество
- A∪B={x∣x∈A∨x∈B}.{displaystyle Acup B={xmid xin Avee xin B}.}
Объединение более чем двух множеств
Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{displaystyle {M_{alpha }}_{alpha in A}.}
Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:
Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:- ⋃α∈AMα={x∣∃α∈Ax∈Mα}.{displaystyle bigcup limits _{alpha in A}M_{alpha }={xmid exists alpha in A;xin M_{alpha }}.}
Свойства
- Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2X;{displaystyle 2^{X};}
- Операция объединения множеств коммутативна:
- A∪B=B∪A;{displaystyle Acup B=Bcup A;}
- Операция объединения множеств ассоциативна:
- (A∪B)∪C=A∪(B∪C);{displaystyle (Acup B)cup C=Acup (Bcup C);}
- Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:[1]
- (⋂kAk)∪B=⋂k(Ak∪B){displaystyle left(bigcap _{k}A_{k}right)cup B=bigcap _{k}left(A_{k}cup Bright)}
- Пустое множество X{displaystyle X} является нейтральным элементом операции объединения множеств:
- A∪∅=A;{displaystyle Acup emptyset =A;}
- Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
- Операция объединения множеств идемпотентна:
- A∪A=A.{displaystyle Acup A=A.}
является 
Примеры
- Пусть A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8}.{displaystyle A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8}.} Тогда
Тогда- A∪B={1,2,3,4,5,8,6,7};{displaystyle Acup B={1,2,3,4,5,8,6,7};}
- ⋃n∈Z[n,n+1]=R.{displaystyle bigcup limits _{nin mathbb {Z} }[n,n+1]=mathbb {R} .}
![{displaystyle bigcup limits _{nin mathbb {Z} }[n,n+1]=mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3835f4db48045c5a8bebe8bf50c998c384adab7c)
Примечания
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
