Многоугольник

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Многоугольник (значения).

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым[1].

Различные типы многоугольников

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Содержание

1 Варианты определений
2 Связанные определения
3 Виды многоугольников и их свойства
4 Общие свойства
5 Вариации и обобщения
6 Примечания

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым[1].

Плоская
замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве и др.[1].

Связанные определения

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить 180∘{displaystyle 180^{circ }} $180^{circ }$ в том случае, если многоугольник невыпуклый.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между 180∘{displaystyle 180^{circ }} $180^{circ }$ и внутренним углом, он может принимать значения от −180∘{displaystyle -180^{circ }} ${displaystyle -180^{circ }}$ до 180∘{displaystyle 180^{circ }} $180^{circ }$ .

Виды многоугольников и их свойства

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с n{displaystyle n} $n$ вершинами называется n{displaystyle n} $n$ -угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность Многоугольник, описанный около окружности

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного n{displaystyle n} $n$ -угольника равен {n}{displaystyle {n}} ${displaystyle {n}}$ .
Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.[2] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойства

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов плоского n{displaystyle n} $n$ -угольника без самопересечений равна 180∘(n−2){displaystyle 180^{circ }(n-2)} ${displaystyle 180^{circ }(n-2)}$ .

Число диагоналей

Число диагоналей всякого n{displaystyle n} $n$ -угольника равно n(n−3)2{displaystyle {tfrac {n(n-3)}{2}}} ${displaystyle {tfrac {n(n-3)}{2}}}$ .

Площадь

Пусть {(Xi,Yi)},i=1,2,…,n{displaystyle {(X_{i},Y_{i})},i=1,2,…,n} ${(X_{i},Y_{i})},i=1,2,...,n$ — последовательность координат соседних друг другу вершин n{displaystyle n} $n$ -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S=12|∑i=1n(Xi+Xi+1)(Yi−Yi+1)|{displaystyle S={frac {1}{2}}left|sum limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})right|}

S={frac {1}{2}}left|sum limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}+X_{{i+1}})(Y_{i}-Y_{{i+1}})right|

, где (Xn+1,Yn+1)=(X1,Y1){displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}

(X_{{n+1}},Y_{{n+1}})=(X_{1},Y_{1})

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [3].

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F{displaystyle F}

$F$ называется квадрируемой, если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ существует пара многоугольников P{displaystyle P} $P$ и Q{displaystyle Q} $Q$ , таких, что P⊂F⊂Q{displaystyle Psubset Fsubset Q} $Psubset Fsubset Q$ и S(Q)−S(P)<ε{displaystyle S(Q)-S(P)<varepsilon } $S(Q)-S(P)<varepsilon$ , где S(P){displaystyle S(P)} $S(P)$ обозначает площадь P{displaystyle P} $P$ .

Вариации и обобщения

Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Примечания

↑ 1 2 3 Многоугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 749—752.
↑ Картаслов.ру
↑ Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона// Матем. просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12–15

В Викисловаре есть статья «многоугольник»

Медиафайлы на Викискладе