wiki

Кэлерово многообразие

[[Категория:Википедия:Ошибка выражения: неожидаемый оператор <, редактируемые прямо сейчас]]

Кэлерово многообразие — могообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Кэлера.

Содержание

Определения

Как симплектическое многообразие

Кэлерово многообразие это симплектическое многообразие (K,ω){displaystyle (K,omega )}

  с интегрируемой почти комплекснаой структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексноеое многообразие

Кэлерово многообразие это Эрмитово многообразие[en] с замкнутой Эрмитовой формой. Такая Эрмитова форма называется Кэлеровой.

Связь между определениями Эрмитовых и симплектических

Пусть h{displaystyle h}

  — эрмитова форма, ω{displaystyle omega }  — симплектическая форма и J{displaystyle J}  — почти комплексная структура. Согласуемость ω{displaystyle omega }  и J{displaystyle J}  означает, что форма

g(u,v)=ω(u,Jv){displaystyle g(u,v)=omega (u,Jv)} 

является Римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством

h=g−iω.{displaystyle h=g-iomega .} 

Кэлеров потенциал

На комплексном многообразии K{displaystyle K}

 , каждая строго плюригармоническая функция[en]  ρ∈C∞(K;R){displaystyle rho in C^{infty }(K;mathbb {R} )}  порождает Кэлерову форму

ω=i2∂∂¯ρ.{displaystyle omega ={frac {i}{2}}partial {bar {partial }}rho .} 

При этом, функция ρ{displaystyle rho }

  называется Кэлеровым потенциалом формы ω{displaystyle omega } .

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки p{displaystyle p}

  Кэлерова многообразия (K,ω){displaystyle (K,omega )}  существует окрестность U∋p{displaystyle Uni p}  и функция ρ∈C∞(U,R){displaystyle rho in C^{infty }(U,mathbb {R} )}  такая, что

ω|U=i∂∂¯ρ{displaystyle omega vert _{U}=ipartial {bar {partial }}rho } .

При этом ρ{displaystyle rho }

  называется локальным Кэлеровым потенциалом формы ω{displaystyle omega } .

Примеры

См. также

Ссылки

Читайте также