wiki

Компактное пространство

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Содержание

История

Бикомпактное пространство — понятие, введённое Александровым в усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие.[1] Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными.Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Определение

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Примеры компактных множеств

  • Замкнутые ограниченные множества в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} .
  • Конечные подмножества топологических пространств.
  • Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство C(X){displaystyle C(X)}  вещественных функций на метрическом компактном пространстве X{displaystyle X}  с нормой ‖f‖=supx|f(x)|{displaystyle |f|=sup _{x}|f(x)|} . Тогда замыкание множества функций F{displaystyle F}  в C(X){displaystyle C(X)}  компактно тогда и только тогда, когда F{displaystyle F}  равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
  • Пространство Стоуна булевых алгебр.
  • Компактификация топологического пространства.

Связанные определения

  • Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется относительно компактным, если его замыкание компактно.
  • Множество называется предкомпактным, если его пополнение компактно.
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограниченна.
  • Счётно компактное пространство  — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
  • Слабо счётно компактное пространство  — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
  • H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве.[2][3]

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[4]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

  • Свойства, равносильные компактности:
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[5].
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
    • Топологическое пространство X{displaystyle X}  компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в X{displaystyle X}  .
  • Другие общие свойства:
  • Свойства компактных метрических пространств:
    • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
    • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
    • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля[7].
    • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия {Vα}, α∈A{displaystyle {V_{alpha }}, alpha in A}  существует положительное число r{displaystyle r}  такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше r{displaystyle r} , содержится в одном из множеств Vα{displaystyle V_{alpha }} . Такое число r{displaystyle r}  называется числом Лебега.

Примечания

  1. ↑ Бикомпактное пространство, математическая энциклопедия
  2. ↑ 1 2 3 Келли, с. 209
  3. ↑ 1 2 3 H-замкнутое пространство — статья из математической энциклопедии. В.И.Пономарёв.
  4. ↑ Энгелькинг, с.208
  5. ↑ См. также Лемма о вложенных отрезках
  6. ↑ Энгелькинг, с.210
  7. ↑ См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности

Литература

Читайте также