wiki

Звезда Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.

∗:Λq(T∗M)→Λn−q(T∗M){displaystyle *colon Lambda ^{q}(T^{*}M)to Lambda ^{n-q}(T^{*}M)}

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Содержание

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

Ω=f(X)dX0∧…∧dXn−1{displaystyle Omega =f(X)dX^{0}wedge ldots wedge dX^{n-1}} 
ΩM1…Mn=f(X)εM1…Mn{displaystyle Omega _{M_{1}ldots M_{n}}=f(X)varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}} 

где f(X):M→R{displaystyle f(X):Mto mathbb {R} }

  — неотрицательный скаляр на многообразии M{displaystyle M} , а εM1…Mn{displaystyle varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}}  — полностью антисимметричный символ. ε0…n−1=+1{displaystyle varepsilon _{0ldots n-1}=+1} .Даже в отсутствие метрики, если f(X)
>0{displaystyle f(X)>0} , можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

Ωˇ=1f(X)∂∂X0∧⋯∧∂∂xn−1{displaystyle {check {Omega }}={frac {1}{f(X)}}{frac {partial }{partial {X^{0}}}}wedge cdots wedge {frac {partial }{partial {}{x^{n-1}}}}} 
ΩˇM1…Mn=f−1(X)εM1…Mn{displaystyle {check {Omega }}^{M_{1}ldots M_{n}}=f^{-1}(X)varepsilon ^{M_{1}ldots M_{n}}} 

здесь антисимметричный символ εM1…Mn{displaystyle varepsilon ^{M_{1}ldots M_{n}}}

  совпадает εM1…Mn{displaystyle varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}} .

В присутствии метрики Ω{displaystyle Omega }

  с поднятыми индексами может отличаться от Ωˇ{displaystyle {check {Omega }}}  на знак: Ω=σΩˇ{displaystyle Omega =sigma {check {Omega }}} . Здесь и далее σ=sgn⁡det(gmk){displaystyle sigma =operatorname {sgn} det(g_{mk})} 

Введём операцию антисимметризации:

A[m1…mq]=1q!∑σ(m1…mq)(−1)sgn⁡(m1…mq)Aσ(m1…mq){displaystyle A_{[m_{1}ldots m_{q}]}={frac {1}{q!}}sum _{sigma (m_{1}ldots m_{q})}(-1)^{operatorname {sgn}(m_{1}ldots m_{q})}A_{sigma (m_{1}ldots m_{q})}} . Суммирование ведётся по всем перестановкам σ(m1…mq){displaystyle sigma (m_{1}ldots m_{q})}  индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности sgn⁡(σ){displaystyle operatorname {sgn}(sigma )} . Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: Ak[lm]=12!(Aklm−Akml){displaystyle A_{k[lm]}={frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})} ; Ak[lBpm]=12!(AklBpm−AkmBpl){displaystyle A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})} .

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

AA…⌊K1…Kk⌋B…C…⌊K1…Kk⌋D…=1k!AA…K1…KkB…C…K1…KkD…{displaystyle A^{Aldots lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor Bldots }{}_{Cldots lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor Dldots }={frac {1}{k!}}A^{Aldots K_{1}ldots K_{k}Bldots }{}_{Cldots K_{1}ldots K_{k}Dldots }} .

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки ⌊⌋{displaystyle lfloor ;rfloor }

  только по упорядоченным наборам не деля на k!{displaystyle k!} , это связано с тем, что разные наборы индексов K1…Kk{displaystyle K_{1}ldots K_{k}} , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

(A,B)Mk+1…Mq(k)Nk+1…Np=A⌊K1…Kk⌋Mk+1…Mq⌊K1…Kk⌋Nk+1…Np{displaystyle (A,B)_{M_{k+1}ldots M_{q}}^{(k)}{}^{N_{k+1}ldots N_{p}}=A_{lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor M_{k+1}ldots M_{q}}{}^{lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor N_{k+1}ldots N_{p}}} 
(A,B)M1…Mq−k(k)_N1…Np−k=AM1…Mq−k⌊K1…Kk⌋N1…Np−k⌊K1…Kk⌋{displaystyle (A,B)_{M_{1}ldots M_{q-k}}^{underline {(k)}}{}^{N_{1}ldots N_{p-k}}=A_{M_{1}ldots M_{q-k}lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor }{}^{N_{1}ldots N_{p-k}lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor }} 

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма Ω{displaystyle Omega }

  и поливектор Ωˇ{displaystyle {check {Omega }}}  можно ввести операцию ∗{displaystyle *} , превращающую поливектор B{displaystyle B}  степени p{displaystyle p}  в дифференциальную форму ∗B{displaystyle *B}  степени n−p{displaystyle n-p} , и обратную операцию ∗−1{displaystyle *^{-1}} , превращающую форму A{displaystyle A}  степени q{displaystyle q}  в поливектор ∗−1A{displaystyle *^{-1}A}  степени n−q{displaystyle n-q} 

∗B=(Ω,B)(p){displaystyle *B=(Omega ,B)^{(p)}} 
∗−1A=(A,Ωˇ)(q)_{displaystyle *^{-1}A=(A,{check {Omega }})^{underline {(q)}}} 

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

(∗B)mq+1…mn=f(X)q!Bm1…mqεm1…mn{displaystyle (*B)_{m_{q+1}ldots m_{n}}={frac {f(X)}{q!}}B^{m_{1}ldots m_{q}}varepsilon _{m_{1}ldots m_{n}}} 

Поскольку ∗−1∗B=B{displaystyle *^{-1}*B=B}

*^{{-1}}*B=B  и ∗∗−1A=A{displaystyle **^{-1}A=A} , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов ∗{displaystyle *}

  и ∗−1{displaystyle *^{-1}}  введём пару операторов: ∗ˇ{displaystyle {check {*}}}  и ∗ˇ−1{displaystyle {check {*}}^{-1}} , отличающихся от них знаком.

∗ˇB=(Ω,B)(p)_{displaystyle {check {*}}B=(Omega ,B)^{underline {(p)}}} 
∗ˇ−1A=(A,Ωˇ)(q){displaystyle {check {*}}^{-1}A=(A,{check {Omega }})^{(q)}} 

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика gmk{displaystyle g_{mk}}

 . Обозначим g=det(gmk){displaystyle g=det(g_{mk})} .

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой gmk{displaystyle g_{mk}}

  называется форма Ω=|g|dX0∧…∧dXn−1=|g|dnX{displaystyle Omega ={sqrt {|g|}}dX^{0}wedge ldots wedge dX^{n-1}={sqrt {|g|}}d^{n}X} В компонентах:

Ωm1…mn=|g|εm1…mn{displaystyle Omega _{m_{1}ldots m_{n}}={sqrt {|g|}}varepsilon _{m_{1}ldots m_{n}}} 
Ωm1…mn=|g|gεm1…mn=sgn⁡(g)|g|εm1…mn{displaystyle Omega ^{m_{1}ldots m_{n}}={frac {sqrt {|g|}}{g}}varepsilon ^{m_{1}ldots m_{n}}={frac {operatorname {sgn}(g)}{sqrt {|g|}}}varepsilon ^{m_{1}ldots m_{n}}} 

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

Am1…mn=Al1…lngm1l1⋯gmnln{displaystyle A_{m_{1}ldots m_{n}}=A^{l_{1}ldots l_{n}}g_{m_{1}l_{1}}cdots g_{m_{n}l_{n}}} 

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.(∗A)mq+1…mn=1q!Ωm1…mnAl1…lqgm1l1⋯gmqlq{displaystyle (*A)_{m_{q+1}ldots m_{n}}={frac {1}{q!}}Omega _{m_{1}ldots m_{n}}A_{l_{1}ldots l_{q}}g^{m_{1}l_{1}}cdots g^{m_{q}l_{q}}}

 

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

δ=∗−1d∗{displaystyle delta =*^{-1}d*} 
(δA)M1…Mq−1=1f(X)∂Mq(f(X)AM1…Mq){displaystyle (delta A)^{M_{1}ldots M_{q-1}}={frac {1}{f(X)}}partial _{M_{q}}(f(X)A^{
M_{1}ldots M_{q}})} 

В присутствие метрики оператор дивергенции δ{displaystyle delta }

  выражается через оператор ковариантной производной ∇{displaystyle nabla } , определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

(δA)M1…Mq−1=(∇,A)(1)_M1…Mq−1=∇MqAM1…Mq=1|g|∂Mq(|g|AM1…Mq){displaystyle (delta A)^{M_{1}ldots M_{q-1}}=(nabla ,A)^{{underline {(1)}}M_{1}ldots M_{q-1}}=nabla _{M_{q}}A^{M_{1}ldots M_{q}}={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{M_{q}}({sqrt {|g|}}A^{M_{1}ldots M_{q}})} 

Иногда операцию d{displaystyle d}

  (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию δ{displaystyle delta }  — дивергенцией. Для 1-формы операция δ{displaystyle delta }  задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан Δ{displaystyle Delta }

  от q{displaystyle q} -формы A{displaystyle A}  определяется формулой:

ΔA=(−1)q(δd−dδ)A{displaystyle Delta A=(-1)^{q}(delta d-ddelta )A} 

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа-Бельтрами:

Δφ=∇M∇Mφ=1|g|∂M|g|gMN∂Nφ{displaystyle Delta varphi =nabla _{M}nabla ^{M}varphi ={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{M}{sqrt {|g|}}g^{MN}partial _{N}varphi } 

Для скаляра Δ=∇M∇M{displaystyle Delta =nabla _{M}nabla ^{M}}

 . Если q>0{displaystyle q>0} , то для произвольной метрики в Δ{displaystyle Delta }  появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае q=1{displaystyle q=1} 

(ΔA)K=∇M∇MAK−RKMAM{displaystyle (Delta A)_{K}=nabla _{M}nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}} 

где RKM{displaystyle R_{K}{}^{M}}

  — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Свойства звёздочки Ходжа

Источники

Читайте также