Дифференциалы высших порядков

• Разделы:
  • Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
  • Дополнения
  • Литература

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции  z{displaystyle ~z}  в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

 dnz=d(dn−1z){displaystyle ~d^{n}z=d(d^{n-1}z)}  .

Содержание

• 1 Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
• 2 Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
• 3 Дополнения
• 4 Литература

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной  z=f(x){displaystyle ~z=f(x)}

   второй и третий дифференциалы выглядят так:

 d2z=d(dz)=d(z′dx)=dz′dx=(z″dx)dx=z″dx2{displaystyle ~d^{2}z=d(dz)=d(z’dx)=dz’dx=(z»dx)dx=z»dx^{2}} 

 d3z=d(d2z)=d(z″dx2)=dz″dx2=(z‴dx)dx2=z‴dx3{displaystyle ~d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z»dx^{2})=dz»dx^{2}=(z»’dx)dx^{2}=z»’dx^{3}} 

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции  z=f(x){displaystyle ~z=f(x)}

  :

 dnz=z(n)dxn{displaystyle ~d^{n}z=z^{(n)}dx^{n}} 

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что  dx{displaystyle ~dx}

  есть произвольное и не зависящее от  x{displaystyle ~x}  , которое при дифференцировании по  x{displaystyle ~x}   следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция  z=f(x,y){displaystyle ~z=f(x,y)}

   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:  d2z=d(dz){displaystyle ~d^{2}z=d(dz)} .

d2z=d(∂z∂xdx+∂z∂ydy)=(∂z∂xdx+∂z∂ydy)x′dx+(∂z∂xdx+∂z∂ydy)y′dy={displaystyle d^{2}z=d({frac {partial z}{partial x}}dx+{frac {partial z}{partial y}}dy)=({frac {partial z}{partial x}}dx+{frac {partial z}{partial y}}dy)’_{x}dx+({frac {partial z}{partial x}}dx+{frac {partial z}{partial y}}dy)’_{y}dy=} 

=(∂2z∂x2dx+∂2z∂y∂xdy)dx+(∂2z∂x∂ydx+∂2z∂y2dy)dy{displaystyle =({frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}dx+{frac {partial ^{2}z}{partial ypartial x}}dy)dx+({frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}dx+{frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}dy)dy} 

d2z=∂2z∂x2dx2+2∂2z∂x∂ydxdy+∂2z∂y2dy2{displaystyle d^{2}z={frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}dx^{2}+2{frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}dxdy+{frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}dy^{2}} 

d2z=(∂∂xdx+∂∂ydy)2z{displaystyle d^{2}z=({frac {partial }{partial x}}dx+{frac {partial }{partial y}}dy)^{2}z} 

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции z=f(x1,…,xn){displaystyle ~z=f(x_{1},…,x_{n})}

  выглядит следующим образом:

dnz=(∂∂x1dx1+∂∂x2dx2+…+∂∂xndxn)nz{displaystyle d^{n}z=({frac {partial }{partial x_{1}}}dx_{1}+{frac {partial }{partial x_{2}}}dx_{2}+…+{frac {partial }{partial x_{n}}}dx_{n})^{n}z} 

где  z=f(x1,x2,…xn){displaystyle ~z=f(x_{1},x_{2},…x_{n})}

 , а   dx1,…,dxn{displaystyle ~dx_{1},…,dx_{n}}  произвольные приращения независимых переменных  x1,…,xn{displaystyle ~x_{1},…,x_{n}} .
Приращения  dx1,…,dxn{displaystyle ~dx_{1},…,dx_{n}}   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Дополнения

• С помощью дифференциалов, функция  F{displaystyle ~F}   при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

• для функции с одной переменной:

 4F(x0)=dF(x0)+d2F(x0)2!+…+dnF(x0)n!+dn+1F(x0+θ4x)n+1!{displaystyle ~{mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{frac {d^{2}F(x_{0})}{2!}}+…+{frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{frac {d^{n+1}F(x_{0}+theta {mathcal {4}}x)}{n+1!}}}   ,   (0<θ<1){displaystyle ~(0<theta <1)} ;

• для функции с несколькими переменными:

 4F(x0,y0)=dF(x0,y0)+d2F(x0,y0)2!+…+dnF(x0,y0)n!+dn+1F(x0+θ4x,y0+θ4y)n+1!{displaystyle ~{mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{frac {d^{2}F(x_{0},y_{0})}{2!}}+…+{frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!}}+{frac {d^{n+1}F(x_{0}+theta {mathcal {4}}x,y_{0}+theta {mathcal {4}}y)}{n+1!}}}   ,   (0<θ<1){displaystyle ~(0<theta <1)} 

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции  f(x1,…,xn){displaystyle ~f(x_{1},…,x_{n})}   явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка  (x1,…,xn){displaystyle ~(x_{1},…,x_{n})}   является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции  f(x1,…,xn){displaystyle ~f(x_{1},…,x_{n})}   является неопределённым, то в точке  (x1,…,xn){displaystyle ~(x_{1},…,x_{n})}   нет экстремума.

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1