Гладкое расслоение

Разделы:

Гладкое расслоение — локально тривиальное расслоение с гладкими функциями перехода.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Вариации и обобщения
5 Литература

Определение

Пусть Y{displaystyle Y}

$Y$ и X{displaystyle X} $X$ — гладкие многообразия. Эпиморфизм многообразий π:Y→X{displaystyle pi colon Yto X} ${displaystyle pi colon Yto X}$ называется гладким расслоением, если существуют: открытое покрытие (Ui){displaystyle (U_{i})} ${displaystyle (U_{i})}$ многообразия X{displaystyle X} $X$ , многообразие V{displaystyle V} $V$ и семейство диффеоморфизмов φi:π−1(Ui)→Ui×V{displaystyle varphi _{i}colon pi ^{-1}(U_{i})to U_{i}times V} ${displaystyle varphi _{i}colon pi ^{-1}(U_{i})to U_{i}times V}$ , связанных гладкими функциями перехода ρij=φiφj−1{displaystyle rho _{ij}=varphi _{i}varphi _{j}^{-1}} ${displaystyle rho _{ij}=varphi _{i}varphi _{j}^{-1}}$ на Ui∩Uj×V{displaystyle U_{i}cap U_{j}times V} ${displaystyle U_{i}cap U_{j}times V}$ .

Гладкое расслоение является локально тривиальным расслоением с пространством расслоения Y{displaystyle Y}

$Y$ , базой X{displaystyle X} $X$ , типичным слоем V{displaystyle V} $V$ и атласом расслоения (Ui,φi,ρij){displaystyle (U_{i},;varphi _{i},;rho _{ij})} ${displaystyle (U_{i},;varphi _{i},;rho _{ij})}$ . Замкнутое подмногообразие π−1(x)⊂Y{displaystyle pi ^{-1}(x)subset Y} ${displaystyle pi ^{-1}(x)subset Y}$ называется типичным слоем гладкого расслоения в точке x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ .

Примеры

Векторное расслоение, в частности касательное расслоение
Главное расслоение

Свойства

Пространство расслоения Y{displaystyle Y} $Y$ наделено координатным атласом (xμ,ya){displaystyle (x^{mu },;y^{a})} ${displaystyle (x^{mu },;y^{a})}$ , где (ya){displaystyle (y^{a})} ${displaystyle (y^{a})}$ — координаты на V{displaystyle V} $V$ и (xμ){displaystyle (x^{mu })} ${displaystyle (x^{mu })}$ — координаты на X{displaystyle X} $X$ , функции перехода которых не зависят от координат (ya){displaystyle (y^{a})} ${displaystyle (y^{a})}$ .
Для всякой точки x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ существует открытая окрестность U{displaystyle U} $U$ и вложение s:U→Y{displaystyle scolon Uto Y} ${displaystyle scolon Uto Y}$ , такое что π∘s=Id(U){displaystyle pi circ s=mathrm {Id} ,(U)} ${displaystyle pi circ s=mathrm {Id} ,(U)}$ . Это отображение называется (локальным) сечением гладкого расслоения.

Вариации и обобщения

Слоение
Суперрасслоение
Градуированное расслоение
Банахово и гильбертово расслоения

Литература

Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology, vol. I—III. — N. Y.: Academic Press, 1972—1976.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.