Гипотеза Пуанкаре

Разделы:

.ts-Боковая_навигационная_таблица-preTitle{padding-top:0}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-image{padding:0.4em 0 0.4em}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-title{padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:125%;line-height:1.15em;font-weight:bold;background:#cfe3ff}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-above,.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-below{padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-weight:bold}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-heading{padding:0.2em 0;font-weight:bold;background:#eaf3ff}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-list{padding:0.2em 0}]]>

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году, гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2023 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое n{displaystyle n} $n$ -мерное многообразие гомотопически эквивалентно n{displaystyle n} $n$ -мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n=3{displaystyle n=3} $n=3$ . К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Содержание

1 Схема доказательства
2 История
- 2.1 Признание и оценки
- 2.2 Отражение в средствах массовой информации
3 Примечания
4 Литература
5 Ссылки

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности.Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить.Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае.При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению (0,1)×S2{displaystyle (0,1)times S^{2}}

$(0,1)times S^{2}$ ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M{displaystyle M}

$M$ и применяют к нему поток Риччи с хирургией.Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё.Это означает, что исходное многообразие M{displaystyle M} $M$ можно представить как набор сферических пространственных форм S3/Γi{displaystyle S^{3}/Gamma _{i}} $S^{3}/Gamma _{i}$ , соединённых друг с другом трубками [0,1]×S2{displaystyle [0,1]times S^{2}} $[0,1]times S^{2}$ .Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M{displaystyle M} $M$ диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм S3/Γi{displaystyle S^{3}/Gamma _{i}} $S^{3}/Gamma _{i}$ и более того все Γi{displaystyle Gamma _{i}} $Gamma _{i}$ тривиальны.Таким образом, M{displaystyle M} $M$ является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}

$mathbb {R} ^{3}$ , прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n⩾5{displaystyle ngeqslant 5}

$ngeqslant 5$ получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом [en] (для n⩾5{displaystyle ngeqslant 5} $ngeqslant 5$ , его доказательство было распространено на случаи n=5,6{displaystyle n=5,6} $n=5,6$ Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n=4{displaystyle n=4} $n=4$ было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина
следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки

В 1986 году Фридман стал Филдсовским лауреатом.
В 2006 году Перельман стал Филдсовским лауреатом (отказался).
В 2010 году математический институт Клэя присудил Перельману Премию тысячелетия [2] (отказался).

Отражение в средствах массовой информации

В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание[4].
В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре[6].

Примечания

↑ И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.
↑ Dana Mackenzie. BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved (англ.) // Science : journal. — 2006. — Vol. 314, no. 5807. — P. 1848—1849. — doi:10.1126/science.314.5807.1848. (англ.)
↑ Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
↑ В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу «The Best American S
cience Writing ?!» за 2007 год.
↑ Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it (англ.) // The New Yorker : magazine. — Condé Nast, 2006. — No. August 21. Архивировано 3 сентября 2012 года. Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».

Литература

Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М. Доказательство гипотезы Пуанкаре (по работам Г. Перельмана) // Математическое просвещение. 2019, сер. 3. Вып. 24, С. 53-69.

Ссылки

Портал «Математика»

Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications (англ.) // ArXiv.org — 2002. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0211159
Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0303109
Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0307245
Milnor J. The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
С. Николенко. Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1—2. Архивировано 18 июня 2017 года.
Morgan J., Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.) // ArXiv.org — 2006. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0607607
B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman’s papers (англ.)
Terence Tao». Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)