wiki

Гипотеза Борсука

Разделы:

Гипо́теза Бо́рсука — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии.

Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.

Содержание

1 Формулировка
2 История
3 Примечания
4 Литература

Формулировка

Верно ли, что любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d?

История

Гипотеза была выдвинута Каролем Борсуком в 1933 г.Сам Борсук доказал, что n{displaystyle n}

$n$ -мерный шар нельзя разделить на n{displaystyle n} $n$ частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей.Доказательство основано на теореме Борсука — Улама. Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части диаметра меньше 1.

Гипотеза была подтверждена в некоторых случаях:
- Случай n = 1 очевиден.
- Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году. Идея состоит в том, что любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, который в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра 32<1{displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{2}}<1} ${displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{2}}<1}$ как показано на рисунке.
- Случай n = 3 был доказан Эгглстоном в 1955 году. Простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено позже Бранко Грюнбаумом и Хеппесом.
- При всех n для выпуклых тел с гладкой границей — результат Хадвигера (1946).
- При всех n для всех центрально-симметричных тел. Доказано А. С. Рисслингом.
- При всех n для всех тел вращения — результат Бориса Декстера 1995 года.
Контрпримеры
- В 1993 году Калай [en] и Кан [en][1] построили контрпример в размерности n=1325{displaystyle n=1325} ${displaystyle n=1325}$ и доказали, что гипотеза неверна для всех n>2014{displaystyle n>2014} ${displaystyle n>2014}$ . Кроме того, они показали, что для достаточно больших n{displaystyle n} $n$ , существуют n{displaystyle n} $n$ -мерные тела, которые нельзя разбить на [1,2n]{displaystyle [1{,}2^{sqrt {n}}]} ${displaystyle [1{,}2^{sqrt {n}}]}$ части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x).
- В 1997 году А. М. Райгородский представил контрпример[2] в размерности n = 561, обобщаемый на все размерности, большие, чем 561[3].
- В 2003 году А.Хинрихс, Х.Рихтер получили результат[4], который показывает, что гипотеза неверна для всех n⩾298{displaystyle ngeqslant 298} $ngeqslant 298$ .
- В 2013 году доказано, что гипотеза Борсука неверна для всех n⩾64{displaystyle ngeqslant 64} $ngeqslant 64$ [5][6].

Примечания

↑ J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
↑ А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.
↑ М. Л. Гервер, “О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры”, Матем. просв., сер. 3, 3, МЦНМО, М., 1999, 168–183 (неопр.). www.mathnet.ru. Дата обращения: 13 марта 2016.
↑ A. Hinrichs and C. Richter, New sets with large Borsuk numbers Архивная копия от 27 сентября 2007 на Wayback Machine, Discrete Math. 270 (2003), 137—147
↑ Andriy V. Bondarenko, On Borsuk’s conjecture for two-distance sets
↑ Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture

Литература

В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Разбиение фигур на меньшие части, «Популярные лекции по математике», Выпуск 50, М., «Наука» 1971 г., 88 стр.
В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. (1965) (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
М. Л. Гервер, «О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
А. Б. Скопенков, «n-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрия и теории выпуклых тел. М., «Наука», 1971.