Биномиальное распределение

• Разделы:
  • Функция распределения
  • Моменты
  • Свойства биномиального распределения
  • Связь с другими распределениями
  • См. также

Биномиальное распределение
Функция вероятности
Обозначение	B(n,p){displaystyle B(n,p),}
Параметры	n⩾0{displaystyle ngeqslant 0} — число «испытаний» 0⩽p⩽1{displaystyle 0leqslant pleqslant 1} — вероятность «успеха»
Носитель	k∈{0,…,n}{displaystyle kin {0,dots ,n}!}
Функция вероятности	(nk)pkqn−k{displaystyle {binom {n}{k}},p^{k}q^{n-k}!}
Функция распределения	I1−p(n−⌊k⌋,1+⌊k⌋){displaystyle I_{1-p}(n-lfloor krfloor ,1+lfloor krfloor )!}
Математическое ожидание	np{displaystyle np!}
Медиана	одно из {⌊np⌋−1,⌊np⌋,⌊np⌋+1}{displaystyle {lfloor nprfloor -1,lfloor nprfloor ,lfloor nprfloor +1}}
Мода	⌊(n+1)p⌋{displaystyle lfloor (n+1),prfloor !}
Дисперсия	npq{displaystyle npq!}
Коэффициент асимметрии	q−pnpq{displaystyle {frac {q-p}{sqrt {npq}}}!}
Коэффициент эксцесса	1−6pqnpq{displaystyle {frac {1-6pq}{npq}}!}
Дифференциальная энтропия	12log2⁡(2πenp(1−p))+O(1n){displaystyle {frac {1}{2}}log _{2}{big (}2pi e,np(1-p){big )}+Oleft({frac {1}{n}}right)}
Производящая функция моментов	(q+pet)n{displaystyle (q+pe^{t})^{n}!}
Характеристическая функция	(q+peit)n{displaystyle (q+pe^{it})^{n}!}

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n{displaystyle n!} независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p{displaystyle p!}.

Определение

Пусть X1,…,Xn{displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Xi={1,p0,q≡1−p,i=1,…,n.{displaystyle X_{i}=left{{begin{matrix}1,&p\0,&qequiv 1-pend{matrix}}right.,;i=1,ldots ,n.}

Построим случайную величину Y{displaystyle Y!}:

Y=∑i=1nXi{displaystyle Y=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}}.

Тогда Y{displaystyle Y!}, число единиц (успехов) в последовательности X1,…,Xn{displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}, имеет биномиальное распределение с n{displaystyle n!} степенями свободы и вероятностью «успеха» p{displaystyle p!}. Пишем: Y∼Bin(n,p){displaystyle Ysim mathrm {Bin} (n,p)}. Её функция плотности вероятности задаётся формулой:

pY(k)≡P(Y=k)=(nk)pkqn−k,k=0,…,n,{displaystyle p_{Y}(k)equiv mathbb {P} (Y=k)={binom {n}{k}},p^{k}q^{n-k},;k=0,ldots ,n,}

где (nk)=n!(n−k)!k!{displaystyle {binom {n}{k}}={frac {n!}{(n-k)!,k!}}} — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

FY(y)≡P(Y⩽y)=∑k=0⌊y⌋(nk)pkqn−k,y∈R{displaystyle F_{Y}(y)equiv mathbb {P} (Yleqslant y)=sum limits _{k=0}^{lfloor yrfloor }{binom {n}{k}},p^{k}q^{n-k},;yin mathbb {R} },

где ⌊y⌋{displaystyle lfloor yrfloor } обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y{displaystyle y}, или в виде неполной бета-функции:

FY(y)≡P(Y⩽y)=I1−p(n−⌊y⌋,⌊y⌋+1){displaystyle F_{Y}(y)equiv mathbb {P} (Yleqslant y)=I_{1-p}(n-lfloor yrfloor ,lfloor yrfloor +1)}.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

MY(t)=(pet+q)n{displaystyle M_{Y}(t)=left(pe^{t}+qright)^{n}},

откуда

E[Y]=np{displaystyle mathbb {E} [Y]=np},

E[Y2]=np(q+np){displaystyle mathbb {E} left[Y^{2}right]=np(q+np)},

а дисперсия случайной величины.

D[Y]=npq{displaystyle mathbb {D} [Y]=npq}.

Свойства биномиального распределения

• Пусть Y1∼Bin(
  n,p){displaystyle Y_{1}sim mathrm {Bin} (n,p)} и  Y2∼Bin(n,1−p){displaystyle ~Y_{2}sim mathrm {Bin} (n,1-p)}. Тогда pY1(k)=pY2(n−k){displaystyle p_{Y_{1}}(k)=p_{Y_{2}}(n-k)}.
• Пусть Y1∼Bin(n1,p){displaystyle Y_{1}sim mathrm {Bin} (n_{1},p)} и Y2∼Bin(n2,p){displaystyle Y_{2}sim mathrm {Bin} (n_{2},p)}. Тогда Y1+Y2∼Bin(n1+n2,p){displaystyle Y_{1}+Y_{2}sim mathrm {Bin} (n_{1}+n_{2},p)}.

Связь с другими распределениями

• Если n=1{displaystyle n=1!}, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
• Если n{displaystyle n!} большое, то в силу центральной предельной теоремы Bin(n,p)≈N(np,npq){displaystyle mathrm {Bin} (n,p)approx N(np,npq)}, где N(np,npq){displaystyle N(np,npq)!} — нормальное распределение с математическим ожиданием np{displaystyle np!} и дисперсией npq{displaystyle npq!}.
• Если n{displaystyle n!} большое, а λ{displaystyle lambda !} — фиксированное число, то Bin(n,λ/n)≈P(λ){displaystyle mathrm {Bin} (n,lambda /n)approx mathrm {P} (lambda )}, где P(λ){displaystyle mathrm {P} (lambda )!} — распределение Пуассона с параметром λ{displaystyle lambda !}.

См. также

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа