Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.
Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).
Содержание
Определение
Функция f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}
называется биекцией (и обозначается f:X↔Y{displaystyle f:Xleftrightarrow Y} ), если она:
называется биекцией (и обозначается f:X↔Y{displaystyle f:Xleftrightarrow Y}
), если она:- Переводит разные элементы множества X{displaystyle X} в разные элементы множества Y{displaystyle Y} (инъективность). Иными словами,
- ∀x1∈X,∀x2∈Y(f(x1)=f(x2)⇒x1=x2){displaystyle forall x_{1}in X,;forall x_{2}in Y;(
f(x_{1})=f(x_{2})Rightarrow x_{1}=x_{2})} .
- ∀x1∈X,∀x2∈Y(f(x1)=f(x2)⇒x1=x2){displaystyle forall x_{1}in X,;forall x_{2}in Y;(
- Любой элемент из Y{displaystyle Y} имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
- ∀y∈Y,∃x∈Xf(x)=y{displaystyle forall yin Y,;exists xin X;f(x)=y} .
в разные элементы множества Y{displaystyle Y}
(
.
.Примеры
- Тождественное отображение id: X→X{displaystyle mathrm {id} : Xto X} на множестве X{displaystyle X} биективно.
- f(x)=x,f(x)=x3{displaystyle f(x)=x,;f(x)=x^{3}} — биективные функции из R{displaystyle mathbb {R} } в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из R{displaystyle mathbb {R} } в себя.
- f(x)=ex{displaystyle f(x)=e^{x}} — биективная функция из R{displaystyle mathbb {R} } в R+=(0,+∞){displaystyle mathbb {R} _{+}=(0,;+infty )} .
- f(x)=sinx{displaystyle f(x)=sin x} не является биективной функцией, если считать её определённой на всём R{displaystyle mathbb {R} } .
на множестве X{displaystyle X}
— биективные функции из R{displaystyle mathbb {R} }
в себя. Вообще, любой 
— биективная функция из R{displaystyle mathbb {R} }
.
не является биективной функцией, если считать её определённой на всём R{displaystyle mathbb {R} }Свойства
Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.
- Функция f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция f−1:Y→X{displaystyle f^{-1}:Yto X} такая, что
такая, что- ∀x∈Xf−1(f(x))=x{displaystyle forall xin X;f^{-1}(f(x))=x}
и ∀y∈Yf(f−1(y))=y.{displaystyle forall yin Y;f(f^{-1}(y))=y.}
- Если функции f{displaystyle f} и g{displaystyle g} биективны, то и композиция функций g∘f{displaystyle gcirc f} биективна, в этом случае (g∘f)−1=f−1∘g−1{displaystyle (gcirc f)^{-1}=f^{-1}circ g^{-1}} . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если g∘f{displaystyle gcirc f} биективна, то мы можем утверждать лишь, что f{displaystyle f} инъективна, а g{displaystyle g} сюръективна.
и g{displaystyle g}
биективны, то и композиция функций g∘f{displaystyle gcirc f}
биективна, в этом случае (g∘f)−1=f−1∘g−1{displaystyle (gcirc f)^{-1}=f^{-1}circ g^{-1}}
. Коротко: Применения
В информатике
Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.
Примечания
См. также
Литература
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
- Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.
