Алгебра Мальцева — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:
1. Условию антисимметричности:
- g(A,B)=−g(B,A){displaystyle g(A,B)=-g(B,A)}
для всех A,B∈M{displaystyle A,Bin M}.
.2. Тождеству Мальцева:
- J(A1,A2,g(A1,A3))=g(J(A1,A2,A3),A1){displaystyle J(A_{1},A_{2},g(A_{1},A_{3}))=g(J(A_{1},A_{2},A_{3}),A_{1})}
для всех Ak∈M{displaystyle A_{k}in M}, где k=1,2,…,6, иJ(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).{displaystyle J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).}
, где k=1,2,…,6, иJ(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).{displaystyle J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).}
3. Условию билинейности:
- g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C){displaystyle g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)}
для всех A,B,C∈M{displaystyle A,B,Cin M} и a,b∈F{displaystyle a,bin F}.
и a,b∈F{displaystyle a,bin F}
.Алгебра Мальцева были введены в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым.
Алгебра Мальцева представляют собой одно из обобщений алгебр Ли. Любая алгебра Мальцева является лиевой алгеброй.
Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли.Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева.Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева M над полным нормированным полем F характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Муфанг.
Литература
- Мальцев А. И., «Математический сборник», 1955, Том 36, N. 3, с. 569-76.
- Мальцев А. И., «Избранные труды. Том 1. Классическая алгебра» М.: Наука, 1976.
- Мальцев А. И., «Алгебраические системы» М.: Наука, 1970. — 392c.
- Mal’tsev A.I., Algebraic systems. Springer, 1973.
- Koulibaly A.A. «Contributions a la theorie des algebres de Mal’cev» Montpellier : Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 1984.
- Аратмонов В. А.; Салий В. Н.; Скорняков Л. А.; Шеврин Л. Н.; Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: На
ука, 1990, 1991. — Т. 1, 2. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000/25 500 экз. — ISBN 5-02-014426-6+5-02-014427-4.
Ссылки
- МАЛЬЦЕВА АЛГЕБРА Математическая энциклопедия
- В. Т. Филиппов, «Первичные алгебры Мальцева», Матем. заметки, 31:5 (1982), 669—678
