wiki

Алгебра Ли

А́лгебра Ли — объект абстрактной алгебры.Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Содержание

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство L{displaystyle {mathfrak {L}}}

  над полем K{displaystyle K} , снабжённое билинейным отображением

L2→L,  (x,y)↦[x,y],{displaystyle {mathfrak {L}}^{2}to {mathfrak {L}}, (x,y)mapsto [x,y],} 

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

  • [x,x]=0{displaystyle [x,x]=0} ;
  • [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0{displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}  (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если V{displaystyle V}

  — конечномерное векторное пространство над K{displaystyle K}  (dimV=n{displaystyle mathrm {dim} ;V=n} ), то множество его линейных преобразований EndV{displaystyle mathrm {End} ;V}  — также векторное пространство над K{displaystyle K} . Оно имеет размерность dim(EndV)=n2{displaystyle mathrm {dim} (mathrm {End} ;V)=n^{2}}  и может быть представлено как пространство матриц n×n{displaystyle ntimes n} . В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой [x,y]=xy−yx{displaystyle [x,y]=xy-yx} . Пространство EndV{displaystyle mathrm {End} ;V}  с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиом
ам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают gl(V){displaystyle {mathfrak {gl}};(V)}

 . Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение gl(V){displaystyle {mathfrak {gl}};(V)} . Любая подалгебра в gl(V){displaystyle {mathfrak {gl}};(V)}  называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть A{displaystyle {mathfrak {A}}}

  — произвольная ассоциативная алгебра над K{displaystyle K}  с умножением: (x,y){displaystyle (x,y)}  → xy{displaystyle xy} . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над K{displaystyle K} , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: [x,y]=xy−yx{displaystyle [x,y]=xy-yx} , это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли,может быть описана несколькими эквивавлентными способами:

[X,Y]≡LXY{displaystyle [X,Y]equiv L_{X}Y} .
  • Если на многообразии задана локальная система координат (t1,…,tn){displaystyle (t_{1},…,t_{n})} , то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен
[X,Y]i=Xj∂jYi−Yj∂jXi,{displaystyle [X,Y]^{i}=X^{j}partial _{j}Y^{i}-Y^{j}partial _{j}X^{i},} 

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

∂jYi(t1,…,tn)=∂∂tjYi(t1,…,tn){displaystyle partial _{j}Y^{i}(t_{1},…,t_{n})={frac {partial }{partial t_{j}}}Y^{i}(t_{1},…,t_{n})}

 ,

∂jXi(t1,…,tn)=∂∂tjXi(t1,…,tn){displaystyle partial _{j}X^{i}(t_{1},…,t_{n})={frac {partial }{partial t_{j}}}X^{i}(t_{1},…,t_{n})}

 

частные производные от функций Yi(t1,…,tn),Xi(t1,…,tn){displaystyle Y^{i}(t_{1},…,t_{n}),X^{i}(t_{1},…,t_{n})}

  вдоль направлений tj.

  • выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:
[X,Y]=∇XY−∇YX{displaystyle [X,Y]=nabla _{X}Y-nabla _{Y}X} 

где X, Y — векторные поля, а ∇X{displaystyle nabla _{X}}

  — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями даннымивыше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

  • векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]⟺LX[Y,Z]=[LXY,Z]+[Y,LXZ]{displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]Longleftrightarrow L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z]+[Y,L_{X}Z]} 

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре A{displaystyle {mathfrak {A}}}

  называется линейное отображение δ:A→A{displaystyle delta :{mathfrak {A}}to {mathfrak {A}}} , удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения δ(ab)=aδ(b)+δ(a)b{displaystyle delta (ab)=adelta (b)+delta (a)b} . Совокупность всех дифференцирований DerA{displaystyle operatorname {Der} ;{mathfrak {A}}}  является векторным подпространством в EndA{displaystyle operatorname {End} ;{mathfrak {A}}} . Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому DerA{displaystyle operatorname {Der} ;{mathfrak {A}}}  — подалгебра в gl(A){displaystyle {mathfrak {gl(A)}}} .

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли L{displaystyle L}

 . В алгебрах Ли некоторые
дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры L{displaystyle L}  вида adx:y→[x,y];x,y∈L{displaystyle operatorname {ad} ;xcolon yto [x,y];x,yin L} . Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение L→DerL;x↦adx{displaystyle Lto operatorname {Der} ;L;;xmapsto operatorname {ad} ;x}  называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в Der⁡(L){displaystyle operatorname {Der} (L)}

  подалгебру adL{displaystyle operatorname {ad} ;L} , изоморфную факторалгебре L/Z(L){displaystyle L/Z(L)}  алгебры L{displaystyle L}  по её центру Z(L):={x∈L∣[x,y]=0;∀y∈L}{displaystyle Z(L):={xin Lmid [x,y]=0;forall yin L}} .

См. также

Литература

Читайте также