Окрестность

• Разделы:
  • Замечания
  • Пример
  • Вариации и обобщения
  • См. также
  • Литература

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Содержание

• 1 Определения
  • 1.1 Математический анализ
  • 1.2 Общая топология
• 2 Замечания
• 3 Пример
• 4 Вариации и обобщения
  • 4.1 Проколотая окрестность
• 5 См. также
• 6 Литература

Определения

Математический анализ

Основная статья: ε-окрестность

Пусть ε>0{displaystyle varepsilon >0}

  произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x0{displaystyle x_{0}}

  на числовой прямой (иногда говорят ε{displaystyle varepsilon } -окрестностью) называется множество точек, удаленных от x0{displaystyle x_{0}}  не более чем на ε{displaystyle varepsilon } , то естьOε(x0)={x:|x−x0|<ε}{displaystyle O_{varepsilon }(x_{0})={x:|x-x_{0}|<varepsilon }} .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый ε{displaystyle varepsilon }

 -шар с центром в точке x0{displaystyle x_{0}} .

В банаховом пространстве (B,‖⋅‖){displaystyle (B,|cdot |)}

  окрестностью с центром в точке x0{displaystyle x_{0}}  называют множество A={x∈B:‖x−x0‖<ϵ}{displaystyle A={xin B:|x-x_{0}|<epsilon }} .

В метрическом пространстве (M,ρ){displaystyle (M,rho )}

  окрестностью с центром в точке y{displaystyle y}  называютмножество A={x∈M:ρ(x,y)<ϵ}{displaystyle A={xin M:rho (x,y)<epsilon }} .

Общая топология

• Пусть задано топологическое пространство (X,T){displaystyle (X,{mathcal {T}})} , где X{displaystyle X}  — произвольное множество, а T{displaystyle {mathcal {T}}}  — определённая на X{displaystyle X}  топология. Множество V⊂X{displaystyle Vsubset X}  называется окрестностью точки x∈X{displaystyle xin X} , если существует открытое множество U∈T{displaystyle Uin {mathcal {T}}}  такое, что x∈U⊂V{displaystyle xin Usubset V} .

• Аналогично окрестностью множества M⊂X{displaystyle Msubset X}  называется такое множество V⊂X{displaystyle Vsubset X} , что существует открытое множество U∈T{displaystyle Uin {mathcal {T}}} , для которого выполнено M⊂U⊂V{displaystyle Msubset Usubset V} .

Замечания

	В Викисловаре есть статья «окрестность»

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V{displaystyle V}  была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U{displaystyle U} . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.

• Прямо из определения следует, что V{displaystyle V}  является окрестностью множества M{displaystyle M}  тогда и только тогда, когда V{displaystyle V}  есть окрестность любой точки x∈M{displaystyle xin M} .

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией.Тогда (−1,2){displaystyle (-1,2)}

  является открытой окрестностью,а [−1,2]{displaystyle [-1,2]}  — замкнутой окрестностью точки 0{displaystyle 0} .

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение:Множество V˙{displaystyle {dot {V}}}

  называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки x∈X{displaystyle xin X} , если

V˙=V∖{x},{displaystyle {dot {V}}=Vsetminus {x},} 

где V{displaystyle V}

  — окрестность x{displaystyle x} .

См. также

• Словарь терминов общей топологии

Литература

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

1. ↑ Рудин.