Многочлен

Разделы:

Запрос «Полином» перенаправляется сюда; о гидроакустической станции см. Полином (гидроакустическая станция).

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от n{displaystyle n} $n$ переменных x1,x2,…xn{displaystyle x_{1},x_{2},…x_{n}} ${displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$ — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

График многочлена 7 степени.

∑IcIx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}}

sum _{I}c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}cdots x_{n}^{{i_{n}}}

, где

I=(i1,i2,…,in){displaystyle I=(i_{1},i_{2},dots ,i_{n})} $I=(i_{1},i_{2},dots ,i_{n})$ — набор из n{displaystyle n} $n$ целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
cI{displaystyle c_{I}} $c_{I}$ — число, именуемое коэффициентом многочлена, зависящее только от мультииндекса I{displaystyle {mathit {I}}} ${displaystyle {mathit {I}}}$ .

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c0+c1x1+⋯+cmxm{displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+dots +c_{m}x^{m}}

c_{0}+c_{1}x^{1}+dots +c_{m}x^{m}

, где

ci{displaystyle c_{i}} $c_{i}$ — фиксированные коэффициенты,
x{displaystyle x} $x$ — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение» и «алгебраическая функция».

Содержание

1 Изучение и применение
2 Связанные определения
- 2.1 Полиномиальные функции
3 Виды многочленов
4 Свойства
- 4.1 Делимость
5 Вариации и обобщения
6 См. также
7 Литература
8 Ссылки

Изучение и применение

Графики многочленов Бернулли

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений.

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

Связанные определения

Запрос «Степень многочлена»?! перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Многочлен вида cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ называется одночленом или мономом мультииндекса I=(i1,…,in){displaystyle I=(i_{1},dots ,,i_{n})} $I=(i_{1},dots ,,i_{n})$ .
Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,…,0){displaystyle I=(0,dots ,,0)} $I=(0,dots ,,0)$ называется свободным членом.
Полной степенью (ненулевого) одночлена cIx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ называется целое число |I|=i1+i2+⋯+in{displaystyle |I|=i_{1}+i_{2}+dots +i_{n}} $|I|=i_{1}+i_{2}+dots +i_{n}$ .
Множество мультииндексов I{displaystyle {mathit {I}}} ${displaystyle {mathit {I}}}$ , для которых коэффициенты cI{displaystyle c_{I}} $c_{I}$ ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением −∞{displaystyle -infty } $-infty$ .
Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом или триномом.
Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R{displaystyle R} $R$ (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R{displaystyle R} $R$ без делителей нуля) которое обозначается R[x1,x2,…,xn]{displaystyle R[x_{1},x_{2},dots ,x_{n}]} $R[x_1,x_2,dots,x_n]$ .
Для многочлена p(x){displaystyle p(x)} $p(x)$ одной переменной, решение уравнения p(x)=0{displaystyle p(x)=0} $p(x)=0$ называется его корнем.

Полиномиальные функции

Пусть A{displaystyle A}

$A$ есть алгебра над кольцом R{displaystyle R} $R$ . Произвольный многочлен p(x)∈R[x1,x2,…,xn]{displaystyle p(x)in R[x_{1},x_{2},dots ,x_{n}]} $p(x)in R[x_{1},x_{2},dots ,x_{n}]$ определяет полиномиальную функцию

pR:A→A{displaystyle p_{R}:Ato A}

p_{R}:Ato A

Чаще всего рассматривают случай A=R{displaystyle A=R}

$A=R$ .

В случае, если R{displaystyle R}

$R$ есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция fp:Rn→R{displaystyle f_{p}:R^{n}to R} $f_{p}:R^{n}to R$ полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p1(x)≡x{displaystyle p_{1}(x)equiv x} $p_{1}(x)equiv x$ и p2(x)≡x2{displaystyle p_{2}(x)equiv x^{2}} $p_{2}(x)equiv x^{2}$ из Z2[x]{displaystyle mathbb {Z} _{2}[x]} $mathbb{Z } _{2}[x]$ определяют тождественно равные функции Z2→Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}to mathbb {Z} _{2}} $mathbb{Z } _{2}to mathbb{Z } _{2}$ .

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.

Виды многочленов

Запрос «Приведённый многочлен»?! перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым?!, если его старший коэффициент равен единице.
Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
- Например x2+xy+y2{displaystyle x^{2}+xy+y^{2}} $x^{2}+xy+y^{2}$ — однородный многочлен двух переменных, а x2+y+1{displaystyle x^{2}+y+1} $x^{2}+y+1$ не является однородным.
Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
- Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Делимость

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов pq{displaystyle pq}

$pq$ делится на неприводимый многочлен λ{displaystyle lambda } $lambda$ , то p или q делится на λ{displaystyle lambda } $lambda$ . Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4−2{displaystyle x^{4}-2}

$x^{4}-2$ , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x{displaystyle x}

$x$ разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n>2{displaystyle n>2}

$n>2$ существуют многочлены от n{displaystyle n} $n$ переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения

Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
Квазимногочлен
Тригонометрический многочлен
Степенной ряд

См. также

Литература

Многочлен:

Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Ссылки

Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены.