Центра́льной симметри́ей (иногда центра́льной инве́рсией) относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через ZA{displaystyle Z_{A}}, в то время как обозначение SA{displaystyle S_{A}} можно перепутать с осевой симметрией.Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
, в то время как обозначение SA{displaystyle S_{A}}
можно перепутать с Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.
Содержание
- 1 Формальная запись
- 2 Связанные определения
- 3 Общие свойства
- 4 Симметрия на прямой
- 5 На плоскости
- 6 В трёхмерном пространстве
- 7 В четырёхмерном пространстве
- 8 См. также
Формальная запись
- Пусть G — оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором rA→{displaystyle {vec {r_{A}}}} , а преобразовываемая точка задается радиус-вектором x→{displaystyle {vec {x}}} . Тогда имеет место следующая формула:
- G(x→)=2rA→−x→{displaystyle G({vec {x}})=2{vec {r_{A}}}-{vec {x}}}
, а преобразовываемая точка задается радиус-вектором x→{displaystyle {vec {x}}}
. Тогда имеет место следующая формула:
Связанные определения
Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры.
Общие свойства
- Центральная симметрия является движением (изометрией).
- В n-мерном пространстве для преобразования R, заданного последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей всегда найдется такая точка A, что R — центральная симметрия относительно A. В частности — если все n плоскостей имеют общую точку, то R — центральная симметрия относительно этой точки. Кроме того:
- В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.
- Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 (HA−1{displaystyle H_{A}^{-1}} ).
).- Композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос на удвоенный вектор из первого центра во второй:
- ZA∘ZB=T2AB→{displaystyle Z_{A}circ Z_{B}=T_{2{vec {AB}}}}
Симметрия на прямой
В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.
На плоскости
На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A (RA180{displaystyle R_{A}^{180}}
). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.
). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет В трёхмерном пространстве
Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией.
Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.
В четырёхмерном пространстве
В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве), проходящих через центр симметрии.
См. также
| Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |
